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la place de $-\mathrm {\frac {CK}{\omega }} ,$ on verra que les nouvelles expressions de $\alpha$ et $\beta$ en $\eta$ seront les mêmes que les premières en $\omega .$

Cela posé, si l’on fait, pour abréger davantage,

$p={\frac {l}{\mathrm {C} (l-h)}},\quad q={\frac {h\mathrm {K} }{l-h}},\quad r={\frac {1}{h-l}},\quad s={\frac {\mathrm {CK} }{h-l}},$

on aura

$\alpha =m+p\omega +{\frac {q}{\omega }},\quad \beta =n+r\omega +{\frac {s}{\omega }},$

par conséquent

$\alpha ^{x}\beta ^{t}=\left(m+p\omega +{\frac {q}{\omega }}\right)^{x}\left(n+r\omega +{\frac {s}{\omega }}\right)^{t}.$

Cette expression de $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ étant développée et ordonnée suivant les puissances de $\omega ,$ se réduira à une série finie de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {V} &+\mathrm {V} '\omega +\mathrm {V} ''\omega ^{2}+\mathrm {V} '''\omega ^{3}+\ldots +\mathrm {V} ^{(x+t)}\omega ^{x+t}\\&+{\frac {{\grave {\,}}\mathrm {V} }{\omega }}+{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {V} }{\omega ^{2}}}+{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {V} }{\omega ^{3}}}+\ldots +{\frac {\,^{(x+t)}\mathrm {V} }{\omega ^{x+t}}},\end{aligned}}$

où les coefficients $\mathrm {V,V',V'',\ldots ,{\grave {\,}}\mathrm {V} ,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {V} ,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {V} } ,\ldots$ seront des fonctions de $x$ et $t,$ qu’on peut déterminer par différents moyens d’après les méthodes connues.

Donc comme $\omega$ est une quantité absolument arbitraire, on en pourra conclure immédiatement par des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits plus haut (7) l’expression générale de $y_{x,t}$ laquelle sera

${\begin{aligned}y_{x,t}&=\mathrm {V} f(0)+\mathrm {V} 'f(1)+\mathrm {V} ''f(2)+\mathrm {V} '''f(3)++\ldots +\mathrm {V} ^{(x+t)}f(x+t)\\&+{\grave {\,}}\mathrm {V} f(-1)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {V} f(-2)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {V} f(-3)+\ldots +\,^{(x+t)}\mathrm {V} f(-x-t),\end{aligned}}$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction arbitraire.

20. Pour déterminer cette fonction, ou du moins ses différentes valeurs particulières qui entrent dans l’expression précédente, nous supposerons que dans la Table du n^o 6 le premier rang horizontal et le