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on a cette transformée en $\varepsilon$ et $\theta$

$\mathrm {C} \varepsilon ^{2}+\mathrm {C} '\varepsilon \theta +\mathrm {C} ''\theta ^{2}+\mathrm {K} =0,$

laquelle étant multipliée par $\mathrm {C}$ peut se mettre sous cette forme

$(\mathrm {C} \varepsilon +h\theta )(\mathrm {C} \varepsilon +l\theta )+\mathrm {C} \mathrm {K} =0,$

en supposant

$h=\mathrm {{\frac {C'}{2}}+{\sqrt {{\frac {C'^{2}}{4}}-CC''}}} ,\quad l=\mathrm {{\frac {C'}{2}}-{\sqrt {{\frac {C'^{2}}{4}}-CC''}}} .$

Je fais maintenant

$\mathrm {C} \varepsilon +h\theta =\omega ,$

j’aurai

$\mathrm {C} \varepsilon +l\theta =-{\frac {\mathrm {CK} }{\omega }}$^[1],

d’où je tire sur-le-champ

$\varepsilon ={\frac {l\omega +{\cfrac {h\mathrm {CK} }{\omega }}}{\mathrm {C} (l-h)}},\quad \theta ={\frac {\omega +{\cfrac {\mathrm {CK} }{\omega }}}{h-l}}\,;$

donc enfin

$\alpha =m+{\frac {l\omega +{\cfrac {h\mathrm {CK} }{\omega }}}{\mathrm {C} (l-h)}},\quad \beta =n+{\frac {\omega +{\cfrac {\mathrm {CK} }{\omega }}}{h-l}}.$

Ainsi les deux indéterminées $\alpha$ et $\beta$ sont exprimées par une troisième indéterminée $\omega$ d’une manière finie et sans fraction complexe, de sorte que la valeur de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ sera toujours finie tant que $x$ et $t$ seront entiers positifs.

Et il est à remarquer à l’égard des expressions précédentes que l’ambiguïté du radical qui entre dans les valeurs de $h$ et de $l$ n’influe point sur la forme de ces expressions ; car en changeant le signe de ce radical on ne fait que changer $h$ en $l$ et vice versâ ; or en faisant ce changement et mettant en même temps $-{\frac {\mathrm {CK} }{\eta }}$ à la place de $\omega$, et par conséquent $\eta$ à

1. Dans le texte primitif le second membre de cette formule a le signe $+,$ ce qui a pour effet de changer $\mathrm {K}$ en $-\mathrm {K}$ dans les expressions de $\alpha$ et de $\beta .$ Nous avons cru devoir rétablir l’exactitude des formules.$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)