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il est visible qu’on aura une transformée de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {Z} &+\mathrm {Z} '\varepsilon +\mathrm {Z} ''\varepsilon ^{2}+\mathrm {Z} '''\varepsilon ^{3}+\ldots +\mathrm {Z} ^{(x+t)}\varepsilon ^{x+t}\\&+{\grave {\,}}\mathrm {Z} \theta +{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Z} \theta ^{2}+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Z} \theta ^{3}+\ldots +^{(x+t)}\!\mathrm {Z} \theta ^{x+t},\end{aligned}}$

laquelle sera par conséquent égale et identique à la quantité

$\alpha ^{x}\beta ^{t}=(m+\varepsilon )^{x}(n+\theta )^{t},$

en supposant qu’il y ait entre $\varepsilon$ et $\theta$ (19) l’équation

$\mathrm {C\varepsilon ^{2}+C'\varepsilon \theta +C''\theta ^{2}+K} =0.$

Maintenant comme $\varepsilon$ et $\theta$ sont deux différentes fonctions de l’indéterminée $\omega ,$ on en peut conclure sur-le-champ, par un raisonnement analogue à celui du n^o 7, cette expression générale de $y_{x,t},$ savoir

${\begin{aligned}y_{x,t}=\mathrm {Z} \operatorname {F} (0)&+\mathrm {Z} '\operatorname {F} (1)+\mathrm {Z} ''\operatorname {F} (2)+\ldots +\mathrm {Z} ^{(x+t)}\operatorname {F} (x+t)\\&+{\grave {\,}}\mathrm {Z} \varphi (1)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Z} \varphi (2)+\ldots +^{(x+t)}\!\mathrm {Z} \varphi (x+t),\end{aligned}}$

où les caractéristiques $\operatorname {F}$ et $\varphi$ dénotent des fonctions quelconques.

22. Qu’on suppose maintenant, pour déterminer ces fonctions, $t=0$ et ensuite $x=0,$ on aura :

1^o Lorsque $t=0,$

$(m+\varepsilon )^{x}(n+\theta )^{t}=(m+\varepsilon )^{x}=m^{x}+xm^{x-1}\varepsilon +{\frac {x(x-1)}{2}}m^{x-2}\varepsilon ^{2}+\ldots \,;$

donc

$\mathrm {Z} =m^{x},\quad \mathrm {Z} '=xm^{x-1},\quad \mathrm {Z} ''={\frac {x(x-1)}{2}}m^{x-2},\ldots ,$

${\grave {\,}}\mathrm {Z} =0,\quad {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Z} =0,\ldots ,$

donc

$y_{x,0}=m^{x}\left[\operatorname {F} (0)+x{\frac {\operatorname {F} (1)}{m}}+{\frac {x(x-1)}{2}}{\frac {\operatorname {F} (2)}{m^{2}}}+\ldots \right],$

d’où en faisant successivement $x=0,1,2,\ldots ,$ on tirera aisément les valeurs de $\operatorname {F(0),F(1),F(2)} ,\ldots .$ Et par la méthode du n^o 13 on trouvera