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que si l’on désigne la série des quantités

$y_{0,0},\quad {\frac {1}{m}}y_{1,0},\quad {\frac {1}{m^{2}}}y_{2,0},\quad {\frac {1}{m^{3}}}y_{3,0},\ldots$

par $\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots ,$ et qu’on dénote par $\Delta ,\Delta ^{2},\ldots$ les différences successives des termes de cette série, on aura, en général,

$\operatorname {F} (\mu )=m^{\mu }\Delta ^{\mu }\mathrm {Y} .$

2^o Lorsque $x=0,$

$(m+\varepsilon )^{x}(n+\theta )^{t}=(n+\theta )^{t}=n^{t}+tn^{t-1}\theta +{\frac {t(t-1)}{2}}n^{t-2}\theta ^{2}+\ldots \,;$

donc

$\mathrm {Z} =n^{t},\quad {\grave {\,}}\mathrm {Z} =tn^{t-1},\quad {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Z} ={\frac {t(t-1)}{2}}n^{t-2},\ldots ,$

$\mathrm {Z} '=0,\quad \mathrm {Z} ''=0,\ldots ,$

donc

$y_{0,t}=n^{t}\left[\varphi (0)+t{\frac {\varphi (1)}{n}}+{\frac {t(t-1)}{2}}{\frac {\varphi (2)}{n^{2}}}+\ldots \right],$

en supposant $\varphi (0)=\operatorname {F} (0).$

De là on trouvera, comme ci-devant, que si l’on considère la série

$y_{0,0},\quad {\frac {1}{n}}y_{0,1},\quad {\frac {1}{n^{2}}}y_{0,2},\quad {\frac {1}{n^{3}}}y_{0,3},\ldots ,$

et qu’on en désigne les termes par $\mathrm {Y,{\grave {\,}}Y,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}Y,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}Y} ,\ldots ,$ qu’on dénote ensuite par $\delta ,\delta ^{2},\ldots$ les différences successives de ces termes, on trouvera, dis-je, en général,

$\varphi (\nu )=n^{\nu }\delta ^{\nu }\mathrm {Y} .$

Or en faisant $\mu =0,\ \nu =0,$ on a

$\operatorname {F} (0)=\mathrm {Y} =\varphi (0),$

comme cela doit être par l’hypothèse.

Donc si l’on substitue ces valeurs dans l’expression de $y_{x,t}$ du numéro