Je remarque maintenant qu’on ne peut exprimer, en général,
en puissances de
que par une série infinie, ce qui donnera, comme on l’a vu dans l’Article II une expression de
en série infinie ; mais comme on n’a pas besoin de la valeur de
mais seulement de celle de
où
est censé plus grand que
j’observe qu’on peut réduire cette valeur à une série rationnelle et finie de termes ordonnés suivant les puissances de
pourvu qu’on y admette aussi les puissances de
inférieures à
car il est visible que si l’on prend la valeur de
donnée par l’équation précédente, et qu’on la substitue autant qu’il est possible dans la valeur de
qu’ensuite dans les termes résultant de cette première substitution, on substitue de nouveau autant qu’il est possible la même valeur de
et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait rabaissé les puissances de
au-dessous de
il est visible, dis-je, qu’on parviendra à une formule de cette forme
(K)
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où les coefficients
seront des fonctions rationnelles données de
et des coefficients
de l’équation en
et
.
26. Multipliant donc cette expression de
pars
on aura une valeur particulière de
dans laquelle les deux constantes
et
seront à volonté ; et comme l’équation différentielle proposée est linéaire et ne contient aucun terme sans
il est visible qu’on pourra aussi prendre pour
la somme d’autant de pareilles valeurs particulières qu’on voudra, en supposant que les quantités
et
soient différentes dans chacune de ces valeurs.
De là et de ce que les quantités
jusqu’à
sont nécessairement des fonctions irrationnelles de
irréductibles entre elles, il est aisé de conclure par un raisonnement analogue à celui qu’on a em-