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Article II. — De l’étendue des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre, et de la manière de trouver ces intégrales sans connaître les intégrales complète.

8. L’équation finie

$\mathrm {V} =0,$

dans laquelle $\mathrm {V}$ est une fonction des variables $x,y$ et d’une arbitraire $a,$ donne par la différentiation, et en faisant varier à la fois $x,y$ et, $a,$

$dy=pdx+qda,$

$p,q$ étant des fonctions finies de $x,y$ et $a\,;$ différentiant $p$ et substituant pour $dy$ sa valeur, on aura

$dp=p'dx+q'da,$

et différentiant de même $p',$ on aura

$dp'=p''dx+q''da,$

et ainsi de suite. Maintenant si l’on regarde $a$ comme constante, on a pour le premier ordre

$dy=pdx\,;$

et toute équation différentielle du premier ordre, telle que

$\mathrm {Z} =0,$

à laquelle satisfera l’équation finie $\mathrm {V} =0,$ la constante $a$ demeurant arbitraire, sera nécessairement produite par la combinaison deux équations

$V=0,\quad {\frac {dy}{dx}}=p,$

de manière que $a$ s’évanouisse.