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On aurait donc d’abord l’équation

$x-y=0\,;$

mais comme la valeur de $a,$ qui dans ce cas est

$\left({\frac {{\sqrt {\mathrm {X} }}-{\sqrt {\mathrm {Y} }}}{x-y}}\right)^{2}-\mathrm {U} ,$

devient, par la supposition de $x=y,$ égale à ${\frac {0}{0}},$ il s’ensuit que l’équation $x-y=0$ doit être rejetée comme étrangère à l’équation différentielle

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}+{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}=0,$

quoiqu’elle soit contenue (4) dans l’intégrale

${\sqrt {\mathrm {X} }}-{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }}.$

Ensuite on trouvera, comme ous haut, les intégrales particulières

$x=u\quad {\text{ou}}\quad y=u,$

$u$ étant une des racines simples de l’équation

$\mathrm {A} +\mathrm {B} u+\mathrm {C} u^{2}+\mathrm {D} u^{3}+\mathrm {E} u^{4}=0.$

7. On voit donc par ce que nous venons de démontrer comment, lorsqu’on a trouvé l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre, on en peut aisément déduire les intégrales particulières qui satisfont à la même équation ; on voit aussi que si ces intégrales particulières ne sont pas comprises dans l’intégrale complète, ce n’est nullement une imperfection du Calcul intégral, comme on pourrait le croire, faute de donner à ce Calcul toute la généralité dont il est susceptible. Ainsi l’on doit regarder la théorie que nous venons de donner, moins comme une exception que comme un supplément nécessaire à la règle générale du Calcul intégral.