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Pour cela on remarquera que, puisqu’on a une équation différentielle en $y'_{x,t}$ et une en $y''_{x,t},$ et que de plus

$y_{x,t}=y'_{x,t}+y''_{x,t},$

on peut toujours, par l’élimination, trouver la valeur de $y'_{x,t}$ ainsi que celle de $y''_{x,t}$ en $y_{x,t}$ et ses différences ; ainsi l’on connaîtra par là les valeurs des quantités dont il s’agit par celles de $y_{x,0},y_{x,1},\ldots .$

Si l’équation (I) avait plusieurs facteurs rationnels, on ferait relativement à tous ces facteurs des raisonnements analogues aux précédents, et l’on en tirerait des conclusions semllables.

Remarque III.

37. La troisième Remarque a pour objet le cas où l’équation (I) a des facteurs égaux ; en ce cas on sait par la théorie des équations que ces facteurs seront nécessairement rationnels ; de sorte que, suivant la méthode du numéro précédent, on pourra considérer ces facteurs égaux à part et indépendamment des autres ; ainsi la difficulté se réduit au cas où l’équation en $\alpha$ et $\beta$ sera une puissance quelconque d’une autre équation. Désignons cette dernière équation par

$\Pi =0,$

et soit l’équation proposée en $\alpha$ et $\beta ,$

$\Pi ^{m}=0\,;$

je dis que si l’on cherche l’expression générale de $y_{x,t}$ d’après l’équation $\Pi =0$ par les méthodes expliquées ci-dessus, et qu’on nomme cette valeur $y'_{x,t},$ qu’ensuite on désigne par $y''_{x,t},y'''_{x,t},\ldots$ d’autres expressions semblables, dans lesquelles les fonctions arbitraires soient différentes, on aura pour l’expression générale de $y_{x,t}$ résultante de l’équation $\Pi ^{m}m=0,$

$y_{x,t}=y'_{x,t}+xy''_{x-1,t},\quad {\text{ou}}\quad y_{x,t}=y'_{x,t}+ty''_{x,t-1},$

si $m=2\,;$

$y_{x,t}=y'_{x,t}+xy''_{x-1,t}+x(x-1)y''_{x-2,t},$