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ou

$y_{x,t}=y'_{x,t}+xy''_{x-1,t}+xty'''_{x-1,t-1},$

ou

$y_{x,t}=y'_{x,t}+ty''_{x,t-1}+txy'''_{x-1,t-1},$

ou enfin

$y_{x,t}=y'_{x,t}+ty''_{x,t-1}+t(t-1)y'''_{x,t-2},$

si $m=3\,;$ et ainsi de suite ; ces différentes expressions de $y_{x,t}$ revenant toujours à la même.

En effet, si l’on cherche la valeur de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ d’après l’équation $\Pi =0,$ on aura pour l’équation $\Pi ^{2}=0$ la même valeur de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ et de plus celle-ci

$x\alpha ^{x-1}\beta ^{t}d\alpha \quad {\text{ou}}\quad t\alpha ^{x}\beta ^{t-1}d\beta ,$

$d\alpha$ et $d\beta$ étant des quantités indéterminées ; et pour l’équation $\Pi ^{3}=0,$ on aura, outre la valeur de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ qui répond à $\Pi =0,$ ces deux autres-ci

$x\alpha ^{x-1}\beta ^{t}d\alpha \quad {\text{ou}}\quad x(x-1)\alpha ^{x-2}d\alpha ^{2},$

ou bien ces deux-ci

$x\alpha ^{x-1}\beta ^{t}d\alpha ,\quad xt\alpha ^{x-1}\beta ^{t-1}d\alpha d\beta ,$

ou

$t\alpha ^{x}\beta ^{t-1}d\beta ,\quad tx\alpha ^{x-1}\beta ^{t-1}d\alpha d\beta ,$

ou bien encore

$t\alpha ^{x}\beta ^{t-1}d\beta ,\quad t(t-1)\alpha ^{x}\beta ^{t-2}d\beta ^{2},$

et ainsi de suite ; étant indifférent de faire varier $\alpha$ ou $\beta$ à chaque nouvelle différentiation. De là et de ce que nous avons déjà dit dans les n^os 16 et 36 il est facile de déduire les formules précédentes pour l’expression générale de $y_{x,t},$ et de les continuer plus loin pour tous les exposants $m.$

Quant à la détermination des fonctions arbitraires, elle n’a aucune difficulté ; car il n’y aura qu’à déterminer d’abord celles qui entrent dans les expressions de $y'_{x,t},$ de $y''_{x,t},\ldots$ par les valeurs de $y'_{x,0},\ y'_{x,1},\ldots ,\ y'_{0,t},$