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Or $\varepsilon ^{x}\gamma ^{t}$ est une valeur particulière de $z_{x,t},$ de même que $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ est une valeur particulière de $y_{x,t}\,;$ ainsi passant des valeurs particulières aux expressions générales, on aura sur-le-champ

$y_{x,t}=\mathrm {A} z_{mx+pt,nx+qt}+\mathrm {B} z_{mx+pt+\mu ,nx+qt+\nu }+\mathrm {B} z_{mx+pt+\omega ,nx+qt+\rho }+\ldots .$

On pourrait transformer de nouveau l’équation en $\varepsilon$ et $\gamma ,$ et l’on trouverait de la même manière la valeur correspondante de $z_{x,t}.$

Supposons, par exemple,

$\alpha =a+p\varepsilon ,\quad \beta =b+q\gamma ,$

on aura

$\alpha ^{x}\beta ^{t}=\mathrm {A+B\varepsilon +C\gamma +D\varepsilon ^{2}+E\varepsilon \gamma +F\gamma ^{2}} +\ldots$

en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {A} =a^{x}b^{t},\\&\mathrm {B} =xa^{x-1}p\times b^{t},\qquad \mathrm {C} =tb^{t-1}q\times a^{x},\\&\mathrm {D} ={\frac {x(x-1)}{2}}a^{x-2}p^{2}\times b^{t},\quad \mathrm {E} =xa^{x-1}p\times tb^{t-1}q,\ldots ,\end{aligned}}$

et de là

$y_{x,t}=\mathrm {A} z_{0,0}+\mathrm {B} z_{1,0}+\mathrm {C} z_{0,1}+\mathrm {D} z_{2,0}+\mathrm {E} z_{1,1}+\ldots .$

Si l’on voulait faire successivement les deux substitutions, on aurait d’abord

$y_{x,t}=a^{x}y'_{0,t}+xa^{x-1}py'_{1,t}+{\frac {x(x-1)}{2}}a^{x-2}p^{2}y'_{2,t}+\ldots ,$

et ensuite

$y'_{x,t}=b^{t}z_{x,0}+tb^{t-1}qz_{x,1}+{\frac {t(t-1)}{2}}b^{t-2}q^{2}z_{x,2}+\ldots .$

Réciproquement on pourra déterminer les valeurs de $z_{x,t}$ par celles de $y_{x,t}$ en substituant dans $\varepsilon ^{x}\gamma ^{t}$ les valeurs de $\varepsilon$ et $\gamma$ en $\alpha$ et $\beta ,$ et changeant ensuite chaque produit de $\alpha$ et $\beta$ tel que $\alpha ^{r}\beta ^{s}$ en $y_{r,s}.$