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où les coefficients $\mathrm {V,V'} ,\ldots ,\ _{\prime }\!\mathrm {V} ,\ _{\prime }\!\mathrm {V} ',\ldots$ seront des fonctions connues de $u$ et des constantes $\mathrm {A,B,B'} ,\ldots .$

Multipliant donc cette expression de $\gamma ^{u}$ en série par $a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ on aura une valeur particulière de $y_{x,t,u}\,;$ et à cause que $a,s$ $\alpha$ et $\beta$ sont indéterminées et que l’équation est linéaire, on pourra prendre aussi pour $y_{x,t,u}$ la somme d’autant de pareilles expressions qu’on voudra en changeant à volonté les valeurs de $a,\alpha$ et $\beta .$ De là il est aisé de conclure, par un raisonnement analogue à celui du n^o 7, qu’on aura l’expression générale de $y_{x,t,u}$ en mettant dans celle de $\alpha ^{x}\beta ^{t}\gamma ^{u}$ à la place de chaque produit de $\alpha$ et $\beta$ tel que $\alpha ^{r}\beta ^{s}$ une fonction quelconque de $r$ et $s,$ qu’on pourra désigner par $f(r,s).$ Ainsi donc, on aura sur-le-champ

${\begin{aligned}y_{x,t,u}&=\ \ \ \mathrm {V} f(x,t)+\mathrm {V} 'f(x-1,t)+\mathrm {V} ''f(x-2,t)+\mathrm {V} '''f(x-3,t)+\ldots \\&+\ \,_{\prime }\!\mathrm {V} f(x,t-1)+\ _{\prime }\!\mathrm {V} 'f(x-1,t-1)+\,_{\prime }\!\mathrm {V} ''f(x-2,t-1)+\ldots \\&+\ _{\prime \prime }\!\mathrm {V} f(x,t-2)+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} 'f(x-1,t-2)+\ldots \\&+\,_{\prime \prime \prime }\!\mathrm {V} f(x,t-3)+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

43. Pour déterminer maintenant les valeurs de la fonction $f(x,t),$ je suppose qu’on connaisse toutes les valeurs de $y_{x,t,u}$ lorsque $u=0\,;$ or faisant $u=0,$ il est clair qu’on a $\gamma ^{u}=1\,;$ donc $\mathrm {V} =1,$ et tous les autres coefficients sont nuls ; donc la formule précédente donnera, lorsque $u=0,$

$y_{x,t,0}=f(x,t).$

Donc, si l’on fait cette substitution, on aura

${\begin{aligned}y_{x,t,u}&=\ \ \ \mathrm {V} y_{x,t,0}+\mathrm {V} 'y_{x-1,t,0}+\mathrm {V} ''y_{x-2,t,0}+\mathrm {V} '''y_{x-3,t,0}+\ldots \\&+\ \,_{\prime }\!\mathrm {V} y_{x,t-1,0}+\,_{\prime }\!\mathrm {V} 'y_{x-1,t-1,0}+\,_{\prime }\!\mathrm {V} ''y_{x-2,t-1,0}+\ldots \\&+\ _{\prime \prime }\!\mathrm {V} y_{x,t-2,0}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} 'y_{x-1,t-2,0}+\ldots \\&+\,_{\prime \prime \prime }\!\mathrm {V} y_{x,t-3,0}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{aligned}}$

Cette solution est, comme l’on voit, tout à fait analogue à celle du n^o 8 ; aussi est-elle sujette au même inconvénient, qui est de donner