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pour $y_{x,t,u}$ une expression composée d’un nombre infini de termes, à moins que trois des quatre quantités $\mathrm {B'',C',C'',D}$ ne s’évanouissent à la fois, auquel cas la valeur de $\gamma ^{u}$ sera finie, $u$ étant (hypothèse) un nombre entier positif.

Cependant la solution précédente pourra être utile dans tous les cas où les termes donnés $y_{x,t,u}$ sont nuls pour toutes les valeurs négatives de $x$ et de $t\,;$ car alors il est visible que l’expression ci-dessus de $y_{x,t,u}$ sera toujours terminée ; et c’est ce qui peut avoir lieu dans un grand nombres de questions.

44. Mais on peut, par un moyen semblable à celui du n^o 12, obtenir une expression finie de $y_{x,t,u}$ dans tous les cas. En effet, si dans la valeur de $\gamma$ du n^o 42 on fait

$\mathrm {B''+C'\alpha +C''\beta +D} \alpha \beta =\omega ,$

ce qui donne

$\beta =\mathrm {\frac {\omega -B''-C'\alpha }{C''+D\alpha }} ,$

et qu’ensuite on fasse dans cette valeur de $\beta$

$\mathrm {C''+D} \alpha =\eta ,\quad {\text{d’où}}\quad \alpha =\mathrm {\frac {\eta -C''}{D}} ,$

on aura, en substituant successivement ces valeurs,

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {\frac {\eta -C''}{D}} ,\\\beta =&\mathrm {\frac {C'C''-DB''-C'\eta +D\omega }{D\eta }} ,\\\gamma =&\mathrm {\frac {D(BC''-DA-B\eta )+(C'C''-DB'-C\eta )(C'C''-DB''-C'\eta +D\omega )}{D^{2}\eta \omega }} ,\end{aligned}}$

expressions qui ont l’avantage d’être sous une forme finie et de ne point contenir de fraction complexe ; de sorte que si l’on multiplie ensemble ces quantités élevées respectivement aux puissances $x,t,u,$ et qu’on