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$a$ demeurant arbitraire, sera formée par la combinaison des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p',\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=p'',$

de manière que $a$ disparaisse ; et ainsi de suite.

9. Voyons maintenant dans quels cas l’équation $\mathrm {V} =0$ pourra satisfaire aux mêmes équations

$\mathrm {Z=0,\quad Z'=0,\quad Z''} =0,\ldots ,$

en supposant que $a$ soit une quantité variable.

Et d’abord il est clair que cela aura lieu pour l’équation du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ si $q=0\,;$ parce qu’alors on aura également ${\frac {dy}{dx}}=p,$ comme dans le cas de $a$ constante. De là naissent les intégrales particulières, ainsi que nous l’avons vu dans l’Article précédent.

Pour l’équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ il faudra que l’on ait de plus $q'=0,$ afin que l’on ait aussi ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p',$ comme dans l’hypothèse de $a$ constante.

De même pour l’équation du troisième ordre $\mathrm {Z} ''=0,$ il faudra que l’on ait encore $q''=0$ pour que la valeur de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ soit également $=p''\,;$ et ainsi de suite.

Donc, en général, l’équation finie $\mathrm {V} =0$ sera une intégrale particulière de l’équation du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ si $a$ est une quantité telle, que l’on ait $q=0$. Elle sera une intégrale particulière de l’équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ si l’on a à la fois $q=0$ et $q'=0.$ Elle sera une intégrale particulière de l’équation du troisième ordre $\mathrm {Z} ''=0,$ si l’on a en même temps $q=0,\ q'=0,\ q''=0\,;$ et ainsi de suite.

10. En regardant $y$ comme une fonction de $x$ et $a$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0,$ on a, suivant la notation reçue (8).

$p={\frac {dy}{dx}},\quad q={\frac {dy}{da}},$