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principes connus de la théorie des hasards, l’équation

$y_{x,t,u}=py_{x-1,t-1,u}+qy_{x-1,t,u-1}+(1-p-q)y_{x-1,t,u}\,;$

laquelle est, comme l’on voit, aux différences finies et partielles entre quatre variables.

Or il est visible : 1^o que le joueur perd lorsque $x$ étant nul, $t$ et $u$ ont encore une valeur positive quelconque ; d’où il s’ensuit que l’on doit avoir, en général, $y_{0,t,u}=0$ lorsque $t$ ou $u>0\,;$ 2^o que si l’on fait $u=0,$ on a le cas du Problème précédent, de sorte que la valeur de $y_{x,t,0}$ doit être la même que celle de $y_{x,t}$ du n^o 49 ci-dessus ; 3^o que si l’on fait $t=0,$ on aura aussi le cas du même Problème en changeant seulement $p$ en $q$ et $t$ en $u\,;$ par conséquent, la valeur de $y_{x,0,u}$ sera aussi la même que celle de $y_{x,t}$ du n^o 49, mais en y changeant $t$ en $u,$ $p$ en $q.$

Cela posé, je mets l’équation différentielle sous la forme suivante

$py_{x,t,u+1}+qy_{x,t+1,u}+(1-p-q)y_{x,t+1,u+1}=0,$

et la comparant à la formule (L) du n^o 42, j’aurai, en faisant, pour abréger, $n=1-p-q,$

$\gamma ={\frac {q}{\alpha }}\times {\frac {1}{1-{\cfrac {n}{\alpha }}-{\cfrac {p}{\alpha \beta }}}}\,;$

d’où

$\gamma ^{u}={\frac {q^{u}}{\alpha ^{u}}}\left[1+{\frac {u}{\alpha }}\left(n+{\frac {p}{\beta }}\right)+{\frac {u(u+1)}{2\alpha ^{2}}}\left(n^{2}+{\frac {2np}{\beta }}+{\frac {p^{2}}{\beta ^{2}}}\right)\right.$

$\left.+{\frac {u(u+1)(u+2)}{2.3.\alpha ^{3}}}\left(n^{3}+{\frac {3n^{2}p}{\beta }}+{\frac {3np^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {p^{3}}{\beta ^{3}}}\right)+\ldots \right],$

et de là j’aurai sur-le-champ, par la formule du n^o 43, cette expression générale

${\begin{aligned}&y_{x,t,u}=q^{u}{\bigl [}y_{x-u,t,0}+u\left(ny_{x-u-1,t,0}+py_{x-u-1,t-1,0}\right){\bigr .}\\&+{\frac {u(u+1)}{2}}\left(n^{2}y_{x-u-2,t,0}+2npy_{x-u-2,t-1,0}+p^{2}y_{x-u-2,t-2,0}\right)\\&+{\frac {u(u+1)(u+1)}{2.3}}\\&\quad \times \left(n^{3}y_{x-u-3,t,0}+3n^{2}py_{x-u-3,t-1,0}+3np^{2}y_{x-u-3,t-2,0}+p^{3}y_{x-u-3,t-3,0}\right)\\&+{\bigl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\bigr ]}.\end{aligned}}$