Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/224

conque, et qu’il perd lorsque $x=0,$ et $t$ positif quelconque ; de sorte que l’on aura $y_{x,0}=1,$ $x$ étant $>0,$ et $y_{0,t}=0,$ $t$ étant $>0.$

Cela posé, si l’on met l’équation différentielle sous la forme

$py_{x,t+1}+qy_{x+1,t}-y_{x+1,t+1}=0,$

et qu’on la compare à la formule (F) du n^o 7, on aura

$\beta =-{\frac {q\alpha }{p-\alpha }}={\frac {q}{1-{\cfrac {p}{\alpha }}}}\,;$

donc

$\beta ^{t}=q^{t}\left[1+t{\frac {p}{\alpha }}+{\frac {t(t+1)}{2}}{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {t(t+1)(t+2)}{2.3}}{\frac {p^{3}}{\alpha ^{3}}}+\ldots \right],$

et par conséquent (8),

$y_{x,t}=q^{t}\left[y_{x,0}+tpy_{x-1,0}+{\frac {t(t+1)}{2}}p^{2}y_{x-2,0}+\ldots \right].$

Or puisque $y_{0,t}=0,$ il faudra que l’on ait

$y_{0,0}=0,\quad y_{0,-1}=0,\quad y_{0,-2}=0,\ldots ,$

de sorte qu’on aura le cas du n^o 9, où la série devient finie, et comme d’ailleurs on doit aussi avoir $y_{x,0}=1,$ il en résultera cette expression

$y_{x,t}=q^{t}\left[1+tp+{\frac {t(t+1)}{2}}p^{2}+\ldots +{\frac {t(t+1)\ldots (t+x-2)}{1.2\ldots (x-1)}}p^{x-1}\right]$

où il n’y aura plusqu’à changer $x$ en $a$ et $t$ en $b.$

Autre solution du Problème III.

53. On peut aussi trouver une autre solution du Problème précédent par le moyen des formules du n^o 13, lesquelles donnent dans tous les cas une expression finie de $y_{x,t}.$

En appliquant ces formules au cas présent, on aura

$m=1,\quad n=p\,;$