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de sorte que les quantités $\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots$ seront $y_{0,0},\ {\frac {1}{p}}y_{1,0},\ {\frac {1}{p^{2}}}y_{2,0},\ldots ,$ et à cause que les conditions du Problème demandent que

$y_{0,0}=0,\quad y_{1,0}=1,\quad y_{2,0}=1,\ldots ,$

cette série deviendra

$0,\quad {\frac {1}{p}},\quad {\frac {1}{p^{2}}},\ldots \,;$

d’où, en prenant les différences successives, on aura

$\mathrm {Y} =0,\quad \Delta \mathrm {Y} ={\frac {1}{p}},\quad \Delta ^{2}\mathrm {Y} ={\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {2}{p}},\quad \Delta ^{3}\mathrm {Y} ={\frac {1}{p^{3}}}-{\frac {3}{p^{2}}}+{\frac {3}{p}},\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}&f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=1-2p,\quad f(3)=1-3p+3p^{2},\\&f(4)=1-4p+6p^{2}-4p^{3},\ldots ,\end{aligned}}$

d’où il est facile de conclure qu’on aura, en général,

$f(x)=(1-p)^{x}-(-p)^{x},$

tant que $x$ est $0$ ou $>0.$

Ensuite, comme les conditions du Problème exigent aussi que

$y_{0,0}=0,\quad y_{0,1}=0,\quad y_{0,2}=0,\ldots ,$

il s’ensuit que les quantités $\mathrm {Y} ,\,{\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ldots$ seront toutes nulles ; par conséquent leurs différences $\delta \mathrm {Y} ,\delta ^{2}\mathrm {Y} ,\ldots$ seront nulles, ce qui donnera

$f(0)=0,\quad f(-1)=0,\quad f(-2)=0,\ldots \quad {\text{et}}\quad f(-x)=0.$

Enfin, comme $\mathrm {A} =0,$ et que ce que nous avons nommé $p$ dans l’endroit cité est $=-\mathrm {\frac {B}{C'}} =q,$ on aura

$\mathrm {V} =q^{t},\quad \mathrm {V} '=(x+t)q^{t}p,\quad \mathrm {V} ''={\frac {(x+t)(x+t-1)}{2}}q^{t}p^{2},\ldots .$