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Et de là on pourra tireur immédiatement la valeur de $y_{x,t,u}$ en changeant dans l’expression de $\gamma ^{u}$ chaque produit tel que ${\frac {1}{\alpha ^{\rho }\beta ^{\sigma }}}$ en $y_{x-\rho ,t-\sigma ,0},$ ainsi qu’on le voit par la comparaison des formules générales des n^os 42 et 43. Ainsi l’on aura

${\begin{aligned}y_{x,t,u}=r^{u}&{\biggl [}y_{x,t,0}+u\left(py_{x-1,t,0}+qy_{x,t-1,0}\right){\biggr .}\\&+{\frac {u(u+1)}{2}}\left(p^{2}y_{x-2,t,0}+2pqy_{x-1,t-1,0}+q^{2}y_{x,t-2,0}\right)\\&+{\frac {u(u+1)(u+2)}{2.3}}\\&\times \left(p^{3}y_{x-3,t,0}+3p^{2}qy_{x-2,t-1,0}+3pq^{2}y_{x-1,t-2,0}+q^{3}y_{x,t-3,0}\right)\\&{\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Or par les conditions du Problème il faut que $y_{x,t,u}$ devienne égal à zéro lorsque $x=0,$ ou $t=0$ quel que soit $u\,;$ et il est visible, par l’expression précédente, que cette condition emporte celle que chaque quantité telle que $y_{x,t,0}$ soit nulle lorsque $x=0$ ou négatif, ou lorsque $t=0$ ou négatif. De plus, il faut aussi par les conditions du Problème que $y_{x,t,0}$ soit $=1$ lorsque $x$ et $t$ sont plus grands que zéro. D’où il s’ensuit que l’expression générale de $y_{x,t,u}$ deviendra finie, et sera représentée de la manière suivante

${\begin{aligned}y_{x,t,u}=r^{u}&{\biggl [}1+u(p+q)+{\frac {u(u+1)}{2}}\left(p^{2}+2pq+q^{2}\right){\biggr .}\\&{\biggl .}+{\frac {u(u+1)(u+2)}{2.3}}\left(p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3}\right)+\ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

en ne continuant cette série que tant que les puissances de $p$ seront moindres que $x,$ et celles de $q$ moindres que $t.$

De sorte que si l’on désigne, pour plus de simplicité, les coefficients $u,\ {\frac {u(u+1)}{2}},\ {\frac {u(u+1)(u+2)}{2.3}},\ldots$ par $u',u'',u''',\ldots ,$ on pourra donner à l’ex-