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pression dont il s’agit cette forme

${\begin{aligned}y_{x,t,u}=r^{u}&{\biggl [}1+u'p+u''p^{2}+\ldots +u^{(x-1)}p^{x-1}{\biggr .}\\&+u'q+2u''pq+3u'''p^{2}q+\ldots +xu^{(x)}p^{x-1}q\\&+u''q^{2}+3u'''pq^{2}+6u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}p^{2}q^{2}+\ldots +{\frac {x(x+1)}{2}}u^{(x+1)}p^{x-1}q^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+u^{(t-1)}q^{t-1}+tu^{(t)}pq^{t-1}+{\frac {t(t+1)}{2}}u^{(t+1)}p^{2}q^{t-1}+\ldots \\\end{aligned}}$

$+{\biggl .}u^{(x+t-2)}p^{x-1}q^{t-1}{\biggr ]},$

où le coefficient du dernier terme $u^{(x+t-2)}p^{x-1}q^{t-1}$ sera également

${\frac {x(x+1)(x+2)\ldots (x+t-2)}{2.3\ldots (t-1)}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {t(t+1)(t+2)\ldots (t+x-2)}{2.3\ldots (x-1)}},$

ces deux quantités étant égales entre elles, comme on peut s’en convaincre en multipliant l’une par le dénominateur de l’autre, et vice versâ.

Corollaire I.

55. Si l’on supposait qu’à chaque coup il pût arriver quatre événements différents $\mathrm {P,Q,R,S}$ dont les probabilités respectives fussent $p,q,$$r,s,$ et qu’on cherchât le sort d’un joueur qui parierait d’amener l’événement $\mathrm {S}$ $z$ fois avant que les événements $\mathrm {R,Q,P}$ pussent arriver respectivement $u,t,x$ fois, le Problème serait toujours résoluble par la même méthode, et l’on trouverait, pour le sort cherché, l’expression

$s^{z}\left[1+z(p+q+r)+{\frac {z(z+1)}{2}}(p+q+r)^{2}\right.$

$+\left.{\frac {z(z+1)(z+2)}{2.3}}(p+q+r)^{3}+\ldots \right]$

dans laquelle, après avoir développé les puissances de $p+q+r,$ il ne faudra retenir que les termes où $p$ sera élevé à une puissance moindre que $x,$ $q$ à une puissance moindre que $t,$ et $r$ à une puissance moindre