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cients des puissances des multinômes, que chacun de ces termes sera de la forme suivante

${\frac {\alpha (\alpha +1)\ldots (\alpha +l+m+n+\ldots -1)}{1.2\ldots (l+m+n+\ldots )}}$

$\times {\frac {(l+1)(l+2)\ldots (l+m+n+\ldots )}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1\ldots }}\alpha ^{a}b^{l}c^{m}d^{n}\ldots ,$

en donnant successivement à $l,m,n,\ldots$ toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu’à $\beta -1,\ \gamma -1,\ \delta -1,\ldots$ respectivement.

Remarque.

57. Le Problème dont nous venons de donner une solution très-générale et très-simple renferme d’une manière générale celui qu’on nomme communément dans l’Analyse des hasards le Problème des parties, et qui n’a encore été résolu complétement que pour le cas de deux joueurs. (Voyez l’Analyse de Monmort, Propositions XL. et XLI, seconde édition ; La Science des hasards de Moivre, Problème VI, seconde édition ; le Mémoire de M. de Laplace imprimé parmi les Mémoires présentés à l’Académie des Sciences en 1773, Problèmes XIV et XV.)

Si deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouant ensemble à plusieurs parties ont les probabilités respectives $p$ et $q$ de gagner chaque partie en particulier, et qu’il manque au joueur $\mathrm {A}$ $x$ parties ou points, et au joueur $\mathrm {B}$ $t$ parties ou points pour gagner, on aura évidemment le cas du Problème III (52), et $y_{x,t}$ sera le sort ou l’espérance du joueur $\mathrm {B} \,;$ et nos deux solutions s’accordent avec celles qu’on trouve dans l’Ouvrage cité de Monmort, n^os 191, 192.

S’il y a trois joueurs $\mathrm {A,B,C}$ dont les probabilités respectives pour gagner chaque partie soient $p,q,r,$ et qu’il manque à $\mathrm {A}$ $x$ parties, à $\mathrm {B}$ $t$ parties, à $\mathrm {C}$ $u$ parties, on aura le cas du Problème IV (54) ; et $y_{x,t,u}$ sera le sort ou l’espérance du joueur $\mathrm {C} ,$ et ainsi de suite.

En général, s’il y a autant de joueurs que l’on veut, $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots ,$ dont les probabilités respectives de gagner chaque partie soient $a,b,c,d,\ldots ,$ et qu’il leur manque respectivement $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ parties, on aura par le Corollaire II ci-dessus l’expression générale du sort du joueur $\mathrm {A} ,$