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que $u\,;$ de sorte que tous les termes qui doivent entrer dans l’expression dont il s’agit formeront un parallélépipède rectangle, dont les trois côtés qui partent du même angle où il y a le terme $s^{z}$ seront formés par ces trois séries

${\begin{aligned}&s^{z}\left[1+zp+{\frac {z(z+1)}{2}}p^{2}+\ldots +{\frac {z(z+1)\ldots (z+x-2)}{1.2\ldots (x-1)}}p^{x-1}\right],\\&s^{z}\left[1+zq+{\frac {z(z+1)}{2}}q^{2}+\ldots +{\frac {z(z+1)\ldots (z\ +t-2)}{1.2\ldots (t-1)}}\ q^{t-1}\right],\\&s^{z}\left[1+zr+{\frac {z(z+1)}{2}}r^{2}+\ldots +{\frac {z(z+1)\ldots (z+u-2)}{1.2\ldots (u-1)}}\,r^{u-1}\right],\end{aligned}}$

et le nombre de tous les termes sera égal à $(x-1)(t-1)(u-1).$

Corollaire II.

56. En général, si les événements qui peuvent arriver à chaque coup sont $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots ,$ et leurs probabilités respectives $a,b,c,d,\ldots ,$ et qu’on demande le sort d’un joueur qui parierait d’amener l’événement $\mathrm {A}$ $\alpha$ fois avant que $\mathrm {B}$ arrive $\beta$ fois, $\mathrm {C}$ $\gamma$ fois, $\mathrm {D}$ $\delta$ fois, …, on trouvera cette expression

$a^{\alpha }\left[1+\alpha (b+c+d+\ldots )+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}}(b+c+d+\ldots )^{2}\right.$

$\left.+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{2.3}}(b+c+d+\ldots )^{3}+\ldots \right],$

dans laquelle, après avoir développé les puissances de $b+c+d+\ldots ,$ il ne faudra retenir que les termes où les puissances de $b$ seront moindres que $\beta ,$ celles de $c$ moindres que $\gamma ,$ celles de $d$ moindres que $\delta ,$ etc. ; de sorte que le nombre de tous les termes qui devront entrer dans cette expression sera

$(\beta -1)(\gamma -1)(\delta -1)\ldots \,;$

et il est facile de prouver par le Théorème connu sur la forme des coeffi-