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volume de cette Académie pour l’année 1768^[1]. Dans le n^o 26 de ce Mémoire on trouve deux formules qui donnent les deux valeurs de $x^{m}$ dans l’équation

$a-bx+cx^{2}=0,$

et qui peuvent s’appliquer au cas présent en faisant

$x=\beta ,\quad m=t,\quad a=p,\quad b=\alpha ,\quad c=q\,;$

on aura ainsi

$\beta ^{t}={\frac {p^{t}}{\alpha ^{t}}}+{\frac {tp^{t+1}q}{\alpha ^{t+2}}}+{\frac {t(t+3)}{2}}{\frac {p^{t+2}q^{2}}{\alpha ^{t+4}}}+{\frac {t(t+4)(t+5)}{2.3}}{\frac {p^{t+3}q^{3}}{\alpha ^{t+6}}}+\ldots$

ou

$\beta ^{t}={\frac {\alpha ^{t}}{q^{t}}}-{\frac {tp\alpha ^{t-2}}{q^{t-1}}}+{\frac {t(t-3)}{2}}{\frac {p^{2}\alpha ^{t-4}}{q^{t-2}}}-{\frac {t(t-4)(t-5)}{2.3}}{\frac {p^{3}\alpha ^{t-6}}{q^{t-3}}}+\ldots .$

Ces deux valeurs de $\beta ^{t}$ étant comparées aux expressions générales de $\beta ^{t}$ du n^o 15, on aura

1^o$\,\quad \left\{{\begin{aligned}&\mu =-1,\quad \mu '=2,\quad \mu ''=4,\ldots \\\mathrm {T} =p^{t},&\quad \mathrm {T} '=tp^{t+1}q,\quad \mathrm {T} ''={\frac {t(t+3)}{2}}p^{t+2}q^{2},\ldots \end{aligned}}\right.$

2^o$\quad \left\{{\begin{aligned}&\nu =1,\quad \nu '=2,\quad \nu ''=4,\ldots \\\mathrm {U} ={\frac {1}{q^{t}}},&\quad \mathrm {U} '=-{\frac {tq}{q^{t-1}}},\quad \mathrm {U} ''={\frac {t(t-3)}{2}}{\frac {p^{2}}{q^{t-2}}},\ldots .\end{aligned}}\right.$

Donc on aura (numéro cité)

$y_{x,t}=p^{t}\left[f(x-t)+tpqf(x-t-2)+{\frac {t(t+3)}{2}}p^{2}q^{2}f(x-t-4)\right.$

$\left.+{\frac {t(t+4)(t+5)}{2.3}}p^{3}q^{3}f(x-t-6)+\ldots \right]$

$+{\frac {1}{q^{t}}}\left[\varphi (x+t)-tpq\varphi (x+t-2)+{\frac {t(t-3)}{2}}p^{2}q^{2}\varphi (x+t-4)\right.$

$\left.-{\frac {t(t-4)(t-5)}{2.3}}p^{3}q^{3}\varphi (x+t-6)+\ldots \right],$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 6.