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les caractéristiques $f$ et $\varphi$ dénotant deux fonctions arbitraires, qu’on déterminera de la manière suivante d’après les conditions données du Problème.

La première condition demande que lorsque $x=0,$ on ait $y_{0,t}=0,$ $t$ étant un nombre entier positif quelconque ; il est facile de se convaincre qu’on ne peut satisfaire à cette condition qu’en supposant que la fonction désignée par la caractéristique $\varphi$ soit toujours zéro, et que celle désignée par la caractéristique $f$ devienne aussi nulle lorsque le nombre dont elle est fonction devient négatif. De cette manière l’expression de $y_{x,t}$ deviendra finie et sera de la forme

$y_{x,t}=p^{t}\left[f(x-t)+tpqf(x-t-2)+{\frac {t(t+3)}{2}}p^{2}q^{2}f(x-t-4)\right.$

$\left.+{\frac {t(t+4)(t+5)}{2.3}}p^{3}q^{3}f(x-t-6)+\ldots \right],$

en prenant seulement autant de termes qu’il y a d’unités dans ${\frac {x-t}{2}}+1$ ou dans ${\frac {x-t-1}{2}}+1.$

L’autre condition du Problème demande ensuite que lorsque $t=0$ et $x$ quelconque, on ait $y_{x,0}=1\,;$ mais dans ce cas on aura, par la formule précédente, $y_{x,0}=f(x)\,;$ donc $f(x)$ doit toujours être égal à $1,$ tant que $x$ n’est pas négatif. Donc les valeurs de $f(x-t),\ f(x-t-2),\ldots$ dans l’expression ci-dessus seront toutes égales à $1$ Ainsi l’on aura

$y_{x,t}=p^{t}\left[1+tpq+{\frac {t(t+3)}{2}}p^{2}q^{2}+{\frac {t(t+4)(t+5)}{2.3}}p^{3}q^{3}+\ldots \right],$

en ne prenant qu’autant de termes qu’il y aura d’unités dans ${\frac {x-t}{2}}+1$ ou dans ${\frac {x-t-1}{2}}+1.$

Si l’on voulait que $t$ fût négatif, alors en changeant $t$ en $-t,$ dans l’expression générale de $y_{x,t},$ on ne ferait qu’y changer $p$ en $q$ et $f$ en $\varphi$ et vice versâ, et, faisant le même raisonnement qu’auparavant, on trouverait

$y_{x,-t}=q^{t}\left[1+tpq+{\frac {t(t+3)}{2}}p^{2}q^{2}+\ldots \right].$