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en $\alpha ,$ et l’on aura, en général, par les formules déjà connues,

${\frac {p^{s}}{\beta ^{s}}}+q^{s}\beta ^{s}=$

$\alpha ^{s}-spq\alpha ^{s-2}+{\frac {s(s-3)}{2}}p^{2}q^{2}\alpha ^{s-4}+{\frac {s(s-4)(s-5)}{2.3}}p^{4}q^{4}\alpha ^{s-6}-\ldots ,$

en ne continuant cette série que tant que les puissances de $\alpha$ seront positives.

Désignons, pour plus de simplicité, cette série en $\alpha$ par $\mathrm {A} ^{(s)}\,;$ on aura donc

${\frac {p^{s}}{\beta ^{s}}}+q^{s}\beta ^{s}=\mathrm {A} ^{(s)}\,;\quad {\text{donc}}\quad \beta ^{-s}={\frac {\mathrm {A} ^{(s)}}{p^{s}}}-\left({\frac {q}{p}}\right)^{s}\beta ^{s}.$

Donc, si par le moyen de cette formule on fait évanouir dans l’expression ci-dessus de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ toutes les puissances négatives de $\beta$, elle se réduira à deux suites, l’une composée de puissances positives de $\alpha ,$ et l’autre composée de puissances positives de $\beta \,;$ ainsi elle aura la forme demandée.

Comme pour notre objet il suffit de connaître la première suite, on considérera uniquement les puissances négatives de $\beta$ qui entrent dans l’expression de $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ et faisant, pour plus de simplicité,

$t=x-u,$

on aura cette formule

$p^{x}\beta ^{-u}+xpq\times p^{x-2}\beta ^{2-u}+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\times p^{x-4}\beta ^{4-u}+\ldots ,$

en ne prenant qu’autant de termes qu’il y a d’unités dans ${\frac {u+1}{2}}$ ou dans ${\frac {u}{2}}+1.$

Ensuite on mettra à la place de chaque puissance négative $\beta ^{-s}$ sa valeur en $\alpha ,{\frac {\mathrm {A} ^{(s)}}{p^{s}}},$ en négligeant les puissances positives de $\beta \,;$ par ce moyen on aura, pour la première partie de l’expression demandée de $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ la formule

$p^{t}\left[\mathrm {A} ^{(u)}+xpq\mathrm {A} ^{(u-2)}+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\mathrm {A} ^{(u-4)}+\ldots \right],$