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car alors on aura sur-le-champ (33)

${\begin{aligned}y_{x,t}=\mathrm {V} y_{0,0}&+\mathrm {V} 'y_{1,0}+\mathrm {V} ''y_{2,0}+\mathrm {V} '''y_{3,0}+\ldots \\&+\,_{\prime }\!\mathrm {V} y_{0,1}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} y_{0,2}+\,_{\prime \prime \prime }\!\mathrm {V} y_{0,3}+\ldots .\end{aligned}}$

Et comme les conditions du Problème demandent que $y_{x,0}=1,$ $x$ étant $=0,1,2,\ldots ,$ et que $y_{0,t}=0,$ $t$ étant $=1,2,3,\ldots ,$ on aura dans le cas du Problème proposé

$y_{x,t}=\mathrm {V+V'+V''+V'''} +\ldots .$

Ainsi la difficulté se réduit à trouver la somme des coefficients $\mathrm {V,V',V''} ,\ldots$ de la première partie de l’expression de $\alpha ^{x}\beta ^{t}.$

Pour cela je substitue à la place de $\alpha$ sa valeur en $\beta$ dans la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t}\,;$ j’ai, comme dans le n^o 59,

${\begin{aligned}\alpha ^{x}\beta ^{t}=&\left(p^{x}\beta ^{t-x}+q^{x}\beta ^{t+x}\right)+xpq\left(p^{x-2}\beta ^{t+2-x}+q^{x-2}\beta ^{t-2+x}\right)\\&+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left(p^{x-4}\beta ^{t+4-x}+q^{x-4}\beta ^{t-4+x}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

Lorsque $x<t,$ cette formule ne contiendra que des puissances positives de $t,$ et formera par conséquent la seconde partie de l’expression cherchée de $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ la première devenant alors toute nulle ; ce qui donnera par conséquent $y_{x,t}=0,$ comme cela doit être lorsque le nombre des coups restants est moindre que le nombre $t.$ Mais, dans le cas ou $x>t,$ la formule précédente renferme nécessairement des puissances négatives de $\beta ,$ qu’il faudra éliminer de la manière suivante.

Si l’on élève successivement au carré, au cube, etc., l’équation

$\alpha ={\frac {p}{\beta }}+q\beta ,$

on en pourra tirer les valeurs de

${\frac {p}{\beta }}+q\beta ,\quad {\frac {p^{2}}{\beta ^{2}}}+q^{2}\beta ^{2},\quad {\frac {p^{3}}{\beta ^{3}}}+q^{3}\beta ^{3},\ldots$