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enfin la condition

$p^{s}\varphi (5+s)+(1-p)^{s}\varphi (5-s)=0$

donnera

$\varphi (6)=-{\frac {1-p}{p}},\quad \varphi (8)=-{\frac {(1-p)^{3}}{p^{3}}},\quad \varphi (10)=0.$

Donc substituant ces valeurs on aura après les réductions

$1-21p^{3}(1-p)^{4}-13p^{4}(1-p)^{3}$

pour le sort cherché.

Autre solution du Problème VI.

62. Je vais maintenant résoudre le même Problème par la méthode de l’Article III ; mais au lieu de s’y prendre comme on a fait dans la troisième solution du Problème précédent (60), où l’on a regardé comme donnés les termes du premier rang horizontal et ceux du premier rang vertical de la Table du n^o 6, il sera plus commode ici de supposer donnés les termes des deux premiers rangs horizontaux ; ce qui ne demande que de réduire la valeur de $\beta ^{t}$ à une expression de la forme suivante (25)

${\begin{aligned}\beta ^{t}&=\mathrm {T} +\mathrm {T} '\alpha +\mathrm {T} ''\alpha ^{2}+\mathrm {T} '''\alpha ^{3}+\ldots +\mathrm {T} ^{(t)}\alpha ^{t}\\&+\left[\,_{\prime }\!\mathrm {T} +\,_{\prime }\!\mathrm {T} '\alpha +\,_{\prime }\!\mathrm {T} ''\alpha ^{2}+\ldots +\,_{\prime }\!\mathrm {T} ^{(t-1)}\alpha ^{t-1}\right]\beta \,;\end{aligned}}$

car alors on aura sur-le-champ (27)

${\begin{aligned}y_{x,t}&=\,\mathrm {T} y_{x,0}+\ \mathrm {T} 'y_{x+1,0}+\,\ \mathrm {T} ''y_{x+2,0}+\mathrm {T} '''y_{x+3,0}+\ldots +\mathrm {T} ^{(t)}y_{x+t,0}\\&+\,_{\prime }\!\mathrm {T} y_{x,1}+\,_{\prime }\!\mathrm {T} 'y_{x+1,1}+\,_{\prime }\!\mathrm {T} ''y_{x+2,1}+\ldots +\,_{\prime }\!\mathrm {T} ^{(t-1)}y_{x+t-1,1}.\end{aligned}}$

Or comme la quantité $\beta$ doit être déterminée (58, 61) par l’équation

$q-\alpha \beta +p\beta ^{2}=0,$

dont les deux racines sont

$\beta ={\frac {\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4pq}}}{2p}},$