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l’intégrale particulière de cette équation résoudra la question tout aussi bien que l’intégrale complète.

12. L’équation

$xd^{2}y-dydx=0$

a pour intégrale complète du premier ordre

$xdx+ydy-dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

et celle-ci a pour intégrale complète finie

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0,$

d’où l’on tire

${\frac {dy}{da}}=-{\frac {a+y}{a}},$

ce qui, étant fait égal à zéro, donne, pour l’intégrale particulière,

$a+y=0,\quad \quad {\text{d’où}}\quad a=-y,$

et par conséquent

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,$

comme on l’a déjà vu (6).

Maintenant, pour que cette intégrale particulière satisfasse aussi à l’équation différentio-diflérentielle, il faudra que l’on ait en même temps

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

différentiant donc la valeur trouvée de ${\frac {dy}{da}},$ on aura

${\frac {d^{2}y}{dxda}}=-{\frac {1}{a}}{\frac {dy}{dx}}\,;$

mais de l’équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0$

on tire

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{a}}\,;\quad {\text{donc}}\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=-{\frac {x}{a^{2}}},$