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ce qui ne peut pas être égal à zéro, en général. D’où il faut conclure que, quoique l’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

satisfasse à l’équation différentielle du premier ordre

$xdx+ydy-dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

elle ne satisfera cependant pas à l’équation différentio-différentielle

$xd^{2}y-dydx=0,$

qui en est dérivée. En effet, on trouve

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {-b^{2}}{\left(b^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ce qui, comme l’on voit, ne satisfait pas à l’équation dont il s’agit.

Prenons maintenant l’équation différentio-difféuentielle

$\left(d^{2}y\right)^{2}+4xd^{2}ydx^{2}-4dydx^{3}=0,$

dont l’intégrale du premier ordre est

$x^{2}dx+dy=\left(b^{3}-x^{3}-3y\right)^{\frac {2}{3}}dx,$

laquelle a pour intégrale complète

$y-a^{2}x+ax^{2}+{\frac {a^{3}-b^{3}}{3}}=0.$

On aura donc

${\frac {dy}{da}}=2ax-x^{2}-a^{2}=-(a-x)^{2}\,;$

ce qui, étant fait égal à zéro, donne $a-x=0,$ par conséquent $a=x,$ et

$y+{\frac {a^{3}-b^{3}}{3}}=0$

pour l’intégrale particulière. Pour que cette intégrale satisfasse donc aussi à l’équation différentio-différentielle, il faudra que ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=2(a-x)$ soit