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six équations à l’aide desquelles on pourra déterminer les six constantes arbitraires en $x,y,z,t,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\,;$ de sorte qu’on aura ainsi six équations différentielles du premier ordre, dont chacune renfermera une constante arlitraire, et sera par conséquent une intégrale première des trois équations différentio-différentielles proposées.

4. Soit donc

$\mathrm {V} =k$

une de ces équations du premier ordre, $\mathrm {V}$ étant une fonction donnée de $x,y,z,t,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et $k$ une constante arbitraire ; on aura par la différentiation

$d\mathrm {V} =0,$

équation différentielle du second ordre qui ne contenant plus de constantes arbitraires devra être identique avec les équations différentiodifférentielles proposées ; d’où il s’ensuit que si dans l’expression de $d\mathrm {V}$ on substitue à la place des différentielles secondes

$d{\frac {dx}{dt}},\quad d{\frac {dy}{dt}},\quad d{\frac {dz}{dt}},$

leurs valeurs tirées des équations dont il s’agit, et qui sont

$-{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}dt,$

cette expression devra devenir identiquement nulle, en sorte qu’il faudra que tous ses termes se détruisent entre eux, et indépendammentde toute relation entre les quantités $x,y,z,t,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ qui composeront cette expression de $d\mathrm {V} .$ Et la même chose aura lieu également à l’égard de chacune des six équations du premier ordre qu’on aura trouvées.

5. Cela posé, si l’on veut maintenant avoir égard aux forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z} ,$ il n’y aura qu’à considérer que l’effet de ces forces con-