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siste en ce que les valeurs des différentielles secondes

$d{\frac {dx}{dt}},\quad d{\frac {dy}{dt}},\quad d{\frac {dz}{dt}}$

sont

$-{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}dt-\mathrm {X} dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}dt-\mathrm {Y} dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}dt-\mathrm {Z} dt\,;$

si donc on substitue ces valeurs dans l’expression de $d\mathrm {V}$ du numéro précédent, il arrivera nécessairement que tous les termes de cette expression se détruiront, à l’exception de ceux qui viennent de la substitution des quantités $-\mathrm {X} dt,$$-\mathrm {Y} dt,-\mathrm {Z} dt$ à la place de $d{\frac {dx}{dt}},\ d{\frac {dy}{dt}},\ d{\frac {dz}{dt}}\,;$ on aura donc dans ce cas

$d\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}(-\mathrm {X} dt)+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}(-\mathrm {Y} dt)+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}(-\mathrm {Z} dt).$

Or, dans le cas où les forces perturbatrices étaient nulles, on a eu $\mathrm {V} =k,$ $k$ étant un des éléments de l’orbite elliptique ; donc, si l’on veut que l’effet des forces perturbatrices consisté à faire varier ces éléments, il n’y aura qu’à regarder la quantité $k$ comme variable, ce qui donnera $d\mathrm {V} =dk\,;$ donc on aura

$dk=-\left({\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}\mathrm {Z} \right),$

d’où l’on connaîtra les variations de $k$ en vertu des forces $\mathrm {X,Y,Z} .$

Et l’on aura des formules semblables pour les variations de chacun des six éléments de l’orbite du corps supposé elliptique.

6. On voit par là que les six équations différentielles du premier ordre, telles que $\mathrm {V} =k,$ seront de la même forme, soit que les forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z}$ soient nulles on non, la seule différence étant dans la valeur des quantités $k$ qui sont constantes dans le premier cas et variables dans le second ; donc, si l’on élimine les trois différences premières ${\frac {dx}{dt}},$