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${\frac {dy}{dy}},{\frac {dz}{dy}},$ on aura trois équations finies qui seront encore de la même forme dans les deux cas ; d’où l’on doit conclure que les valeurs finies de $x,y,z,$ ainsi que celles de leurs différences premières ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ seront toujours exprimées de la même manière par le temps $t$ et par les six éléments de l’orbite, soit que ces éléments soient constants ou variables, par conséquent on pourra toujours regarder ces éléments comme constants pendant un temps infiniment petit.

7. Appliquons maintenant cette théorie à la recherche des variations du grand axe de l’orbite elliptique. Pour cela il suffit de se rappeler que si l’on nomme $p$ le demi-paramètre de l’ellipse, $e$ son excentricité, $r$ le rayon vecteur partant d’un des foyers, $\varphi$ l’angle que le rayon $r$ fait avec une ligne fixe, et $\alpha$ l’angle que le grand axe de l’ellipse fait avec la même ligne, en sorte que $\varphi -\alpha$ soit l’angle du rayon vecteur avec le grand axe de l’ellipse, on aura par la nature de l’ellipse l’équation

$r={\frac {p}{1+e\cos(\varphi -\alpha )}}\,;$

de plus on aura par les propriétés du mouvement dans l’ellipse

$r^{2}d\varphi =dt{\sqrt {\mathrm {F} p}}\,;$

or nommant $a$ le demi-axe on a, comme l’on sait,

$p=a\left(1-e^{2}\right)\,;$

ainsi l’on aura trois constantes $a,e$ et $\alpha ,$ qu’on pourra déterminer à l’aide des trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {1}{r}}={\frac {1+e\cos(\varphi -\alpha )}{a\left(1-e^{2}\right)}},\\&{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{d\varphi }}=-{\frac {e\sin(\varphi -\alpha )}{a\left(1-e^{2}\right)}},\\&{\frac {r^{4}d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {F} a\left(1-e^{2}\right).\end{aligned}}$