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beaucoup plus simple pour arriver à la formule dont il s’agit, et je tâcherai de l’étendre encore à des cas plus compliqués ; j’en ferai de plus voir l’usage pour résoudre plusieurs cas des triangles sphériques rectangles ou obliquangles, ainsi que différents Problèmes d’Astronomie sphérique qui en dépendent ; enfin je montrerai comment on peut appliquer les mêmes principes à trouver généralement la valeur en série d’un angle dont la tangente est donnée par une fonction rationnelle de sinus et de cosinus d’un autre angle.

2. Si $x$ est la base d’un triangle sphérique rectangle, $y$ l’hypoténuse et $\omega$ l’angle compris entre les arcs $x$ et $y,$ on a, par la Trigonométrie,

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} y\,;$

et la formule que j’ai trouvée dans le Mémoire cité est celle-ci

$x=y-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\sin 2y+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\omega }{2}}\sin 4y-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\omega }{2}}\sin 6y+\ldots .$

De sorte que la différence entre les arcs $x,y$ se trouve exprimée par une suite de sinus d’angles multiples de $2y$ et ayant pour coefficients les puissances du carré de la tangente de la moitié de l’angle $\omega ,$ divisées encore par les nombres naturels $1,2,3,\ldots ,$ ce qui rend cette série fort convergente lorsque l’angle $\omega$ est moindre que $90$ degrés.

3. Voici la manière dont je suis arrivé d’abord à cette formule.

Regardant $x$ et $y$ comme variables, et $\omega$ comme constante, on trouve

${\begin{aligned}dx=&{\frac {d\operatorname {tang} x}{1+\operatorname {tang} ^{2}x}}={\frac {\cos \omega d\operatorname {tang} y}{1+\cos ^{2}\omega \operatorname {tang} ^{2}y}}={\frac {\cos \omega dy}{\cos ^{2}y+\cos ^{2}\omega \sin ^{2}y}}\\=&{\frac {2\cos \omega dy}{1+\cos ^{2}\omega +\sin ^{2}\omega \cos 2y}}={\frac {\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }}{\frac {2dy}{1+{\cfrac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }}\cos 2y}}\,:\end{aligned}}$

or il est démontré que toute fraction de la forme ${\frac {1}{1+m\cos \varphi }}$ se réduit en