Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/284

dente de $\theta$, ce qui la réduisait à

$\theta ={\frac {\cos(\varphi +\omega )}{\cos(\varphi -\omega )}}.$

Si l’on avait enfin l’équation

$\operatorname {tang} x=\operatorname {tang} ^{2}\omega \operatorname {tang} y,$

il n’y aurait qu’à faire $\varphi =\omega ,$ ce qui donnerait

$\theta =\cos 2\omega .$

11. On aura donc dans tous ces cas la valeur de $x$ en $y,$ ou de $y$ en $x$, par les formules des n^os 6 et 7, et il est visible que pourvu que $\theta$ ne soit pas plus grande que l’unité, la série, tant pour $x$ que pour $y,$ sera nécessairement toujours convergente, parce que les sinus ne peuvent jamais surpasser l’unité.

12. Nous n’avons cherché jusqu’ici que la valeur de l’arc $x,$ mais on peut avoir aussi avec la même facilité celles des sinus et cosinus des multiples ou sous-multiplesquelconques du même arc.

Je reprends pour cela l’équation du n^o  5

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}},$

et l’élevant à la puissance $\mu ,$ j’ai

$e^{2\mu x{\sqrt {-1}}}=\left({\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }\,;$

et comme le radical ${\sqrt {-1}}$ peut avoir indifféremment le signe $+$ et $-,$ on aura de même

$e^{-2\mu x{\sqrt {-1}}}=\left({\frac {e^{-2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu },$