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d’où je tire ces deux formules

${\begin{aligned}\sin 2\mu x=&{\frac {\left({\cfrac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }-\left({\cfrac {e^{-2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }}{2{\sqrt {-1}}}}\\\cos 2\mu x=&{\frac {\left({\cfrac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }+\left({\cfrac {e^{-2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}+1}}\right)^{\mu }}{2}}\,;\end{aligned}}$

où il ne s’agit plus que de développer les termes, et d’y changer ensuite les exponentielles imaginaires en sinus ou cosinus d’angles.

13. Pour y parvenir avec toute la généralité possible, considérons la quantité

$\left({\frac {u+\theta }{\theta u+1}}\right)^{\mu },$

et voyons comment elle peut se développer en une série de la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} u+\mathrm {C} u^{2}+\mathrm {D} u^{3}+\mathrm {E} u^{4}+\mathrm {F} u^{5}+\ldots .$

Je mets la fraction ${\frac {\theta +u}{1+\theta u}}$ sous cette forme $\theta +{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)u}{1+\theta u}},$ ensuite je développe la puissance $\mu$ de ce binôme, j’aurai

$\theta ^{\mu }+\mu \theta ^{\mu -1}{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)u}{1+\theta u}}+{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu -2}{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}u^{2}}{(1+\theta u)^{2}}}$

$+{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -3}{\frac {\left(1-\theta ^{2}\right)^{3}u^{3}}{(1+\theta u)^{3}}}+\ldots .$

Je développe maintenant les puissances du binôme $1+\theta u$ qui sont au dénominateur, et ordonnant les termes par rapport à $u,$ je trouve

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\theta ^{\mu },\\\mathrm {B} =&\mu \theta ^{\mu -1}\left(1-\theta ^{2}\right),\\\mathrm {C} =&-\mu \theta ^{\mu }\left(1-\theta ^{2}\right)+{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu -2}\left(1-\theta ^{2}\right)^{2},\\\mathrm {D} =&\mu \theta ^{\mu +1}\left(1-\theta ^{2}\right)-2{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu -1}\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -3}\left(1-\theta ^{2}\right)^{3},\end{aligned}}$