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${\begin{aligned}&\mathrm {E} =-\mu \theta ^{\mu +2}\left(1-\theta ^{2}\right)+3{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu }\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}\\&-3{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -2}\left(1-\theta ^{2}\right)^{3}+{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)}{2.3.4}}\theta ^{\mu -4}\left(1-\theta ^{2}\right)^{4},\\&\mathrm {F} =-\mu \theta ^{\mu +3}\left(1-\theta ^{2}\right)-4{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu +1}\left(1-\theta ^{2}\right)^{2}\\&+6{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu -1}\left(1-\theta ^{2}\right)^{3}-4{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)}{2.3.4}}\theta ^{\mu -3}\left(1-\theta ^{2}\right)^{4},\\&+{\frac {\mu (\mu -1)\ldots (\mu -4)(\mu -3)}{2.3.4.5}}\theta ^{\mu -5}\left(1-\theta ^{2}\right)^{5},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

De sorte que, si l’on nomme, en général $\mathrm {M}$ le coefficient du terme $\mathrm {M} u^{m},$ on aura

${\begin{aligned}\pm \mathrm {M} =&\mu \theta ^{\mu +m-1}\left(1-\mu ^{2}\right)-(m-1){\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\theta ^{\mu +m-4}\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}\\&+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}\theta ^{\mu +m-6}\left(1-\mu ^{2}\right)^{3}-\ldots ,\end{aligned}}$

le signe supérieur étant pour le cas où $m$ est impair et l’inférieur pour celui où $m$ est pair.

14. Ayant ainsi trouvé les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ il n’y aura plus qu’à mettre successivement $e^{2y{\sqrt {-1}}}$ et $e^{-2y{\sqrt {-1}}}$ à la place de $u$ pour avoir les valeurs des puissances dont la différence ou la somme forment les valeurs de $\sin 2\mu x$ et de $\cos 2\mu x\,;$ et l’on aura, après les réductions,

${\begin{aligned}\sin 2\mu x=&\mathrm {B} \sin \mu y+\mathrm {C} \sin 2\mu y+\mathrm {D} \sin 3\mu y+\ldots ,\\\cos 2\mu x=&\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos \mu y+\mathrm {C} \cos 2\mu y+\mathrm {D} \sin 3\mu y+\ldots .\end{aligned}}$

15. Donc, si $\mu =1,$ on aura

${\begin{aligned}\sin 2x=&\left(1-\theta ^{2}\right)\left[\sin y-\theta \sin 2y+\theta ^{2}\sin 3y-\theta ^{3}\sin 4y+\ldots \right],\\\cos 2x=&\theta +\left(1-\theta ^{2}\right)\left[\cos y-\theta \cos 2y+\theta ^{2}\cos 3y-\theta ^{3}\cos 4y+\ldots \right].\end{aligned}}$