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d’où l’on tire, en prenant les logarithmes, réduisant en série, et remettant les sinus à la place des exponentielles imaginaires,

${\begin{aligned}x=&2y-\mathrm {\left(P+Q+R+S\right)} \sin y+\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}+R^{2}+S^{2}}{2}} \sin 2y\\&-\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}+R^{3}+S^{3}}{3}} \sin 3y+\mathrm {\frac {P^{4}+Q^{4}+R^{4}+S^{4}}{4}} \sin 4y-\ldots .\end{aligned}}$

On pourrait de même résoudre l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin 3y+b\sin 2y+c\sin y}{\cos 3y+p\cos 2y+q\cos y+r}},$

et ainsi de suite.

30. Supposons enfin que l’on ait à résoudre une équation de cette forme

$\operatorname {tang} x={\frac {\sin y+p\sin 2y+q\sin 3y+\ldots }{\cos y+p\cos 2y+q\cos 3y+\ldots }},$

$p,q,\ldots$ étant des coefficients très-petits ; on la réduira d’abord à la forme

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\left(\cos y+\sin y{\sqrt {-1}}\right)+p\left(\cos 2y+\sin 2y{\sqrt {-1}}\right)+\ldots }{\left(\cos y-\sin y{\sqrt {-1}}\right)+p\left(\cos 2y-\sin 2y{\sqrt {-1}}\right)+\ldots }},$

savoir

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}+pe^{2y{\sqrt {-1}}}+qe^{3y{\sqrt {-1}}}+\ldots }{e^{-y{\sqrt {-1}}}+pe^{-2y{\sqrt {-1}}}+qe^{-3y{\sqrt {-1}}}+\ldots }},$

ou bien

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+pe^{y{\sqrt {-1}}}+qe^{2y{\sqrt {-1}}}+\ldots }{1+pe^{-y{\sqrt {-1}}}+qe^{-2y{\sqrt {-1}}}+\ldots }}.$

Soient à présent

$1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z,\ldots$

les facteurs du multinôme

$1+pz+qz^{2}+\ldots \,;$