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l’équation précédente deviendra

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\ldots }{\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\ldots }},$

d’où l’on tire par les logarithmes, comme plus haut,

$x=y+\mathrm {\left(P+Q+\ldots \right)} \sin y-\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}+\ldots }{2}} \sin 2y+\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}+\ldots }{3}} \sin 3y-\ldots .$

31. Si la valeur de $\operatorname {tang} x$ contenait des sinus et des cosinus tant au numérateur qu’au dénominateur, comme si l’on avait à résoudre l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin y+b\cos y}{\cos y+p\sin y}},$

on pourrait aussi par la même méthode trouver une série convergente pour exprimer la valeur de $x,$ en $y,$ pourvu que $a$ fût toujours peu différent de l’unité, et $b,p$ des coefficients fort petits relativement à $a.$

En effet on aura alors

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {(\cos y+p\sin y)+(a\sin y+b\cos y){\sqrt {-1}}}{(\cos y+p\sin y)-(a\sin y+b\cos y){\sqrt {-1}}}},$

et passant aux exponentielles

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {\left[1+a+(b-p){\sqrt {-1}}\right]e^{y{\sqrt {-1}}}+\left[1-a+(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{-y{\sqrt {-1}}}}{\left[1-a-(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{y{\sqrt {-1}}}+\left[1+a-(b-p){\sqrt {-1}}\right]e^{-y{\sqrt {-1}}}}},$

ou bien

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left[1+a+(b-p){\sqrt {-1}}\right]+\left[1-a+(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{\left[1+a-(b-p){\sqrt {-1}}\right]+\left[1-a-(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{2y{\sqrt {-1}}}}}.$

Soit maintenant

${\frac {b-p}{1+a}}=\operatorname {tang} \alpha ,\quad {\frac {b+p}{1-a}}=\operatorname {tang} \beta ,$

on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=$

$e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {(1+a)\left(1+\operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}\right)+(1-a)\left(1+\operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}\right)e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{(1+a)\left(1-\operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}\right)+(1-a)\left(1-\operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}\right)e^{2y{\sqrt {-1}}}}}\,;$