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cette méthode sert à ramener à l’intégration beaucoup d’équations différentielles qui échappent aux autres méthodes du Calcul intégral.

1. Soit une équation différentielle quelconque entre deux variables $x$ et $y,$ d’où il s’agisse de tirer la valeur de $y$ en $x$ par approximation.

Pour employer dans cette recherche la méthode des fractions continues, on commencera par chercher par les méthodes connues le premier terme de la valeur de $y$ en $x$ lorsque $x$ est supposée très-petite, et nommant ce terme $\xi ,$ on fera

$y={\frac {\xi }{1+y'}}\,;$

substituant ensuite cette expression de $y$ dans l’équation proposée, on aura une nouvelle équation du même ordre et du même degré entre $x$ et $y',$ dans laquelle, en supposant $x$ très-petite, $y'$ sera aussi nécessairement très-petite.

Soit $\xi '$ le premier terme de la valeur de $y'$ en $x$ dans le cas de $x$ très-petite on fera

$y'={\frac {\xi '}{1+y''}},$

et, substituant cette expression de $y'$ dans l’équation entre $x$ et $y',$ on aura une nouvelle équation du même ordre et du même degré entre $x$ et $y'',$ dans laquelle $y''$ sera nécessairement très-petite lorsque $x$ sera supposée très-petite. Soit donc $\xi ''$ le premier terme de la valeur de $y''$ en $x$ dans le cas de $x$ très-petite ; on fera

$y''={\frac {\xi ''}{1+y'''}},$

et, substituant cette expression de $y''$ dans l’équation, on en aura une nouvelle entre $x$ et $y''$ dans laquelle $y'''$ sera nécessairement très-petite lorsqu’on supposera $x$ très-petite. On nommera $\xi '''$ le premier terme de la valeur de $y'''$ en $x$ dans le cas de $x$ très-petite, et l’on fera

$y'''={\frac {\xi '''}{1+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\,;$

et ainsi de suite.