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Si $m$ est un nombre entier quelconque positif ou négatif, la fraction continue s’arrête, et par conséquent la valeur de $y$ est finie ; sinon la fraction continue ira à l’infini.

9. Si l’on prend l’équation proposée

$my+(1+x){\frac {dy}{dx}}=0,$

et qu’on l’intègre après l’avoir multipliée par ${\frac {dx}{(1+x)y}},$ on aura

$\log y+m\log(1+x)=\log k,$

$k$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

$y={\frac {k}{(1+x)^{m}}}\,;$

or en faisant $x=0,$ on a ici $y=k\,;$ et dans l’expression du numéro précédent on a $y=a$ lorsque $x=0\,;$ donc $k=a\,;$ donc

$(1+x)^{m}={\frac {a}{y}}\,;$

donc

$(1+x)^{m}=1+{\cfrac {mx}{1-{\cfrac {(m-1){\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {m+1}{3}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {m-2}{3}}{\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {m+2}{5}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {m-3}{5}}{\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {m+3}{7}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\frac {{\cfrac {m-4}{7}}{\cfrac {x}{2}}}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}.$