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et, transformant de même

${\frac {\xi ''}{1+{\cfrac {\xi '''}{1+{\cfrac {\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{1+\ldots }}}}}}\quad {\text{en}}\quad \xi ''-{\frac {\xi ''\xi '''}{1+\xi '''+{\cfrac {\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{1+\ldots }}}},$

et ainsi de suite, la fraction proposée deviendra de cette forme

$\xi -{\frac {\xi \xi '}{1+\xi '+\xi ''-{\cfrac {\xi ''\xi '''}{1+\xi '''+\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-{\cfrac {\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{1+\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-{\cfrac {\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}}{1+\ldots }}}}}}}}\,;$

et, si l’on ne commence les transformations précédentes qu’au second terme ${\frac {\xi '}{1+\ldots }},$ on aura une fraction de la forme suivante

${\frac {\xi }{1+\xi '-{\cfrac {\xi '\xi ''}{1+\xi ''+\xi '''-{\cfrac {\xi ''\xi '''}{1+\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-{\cfrac {\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{1+\ldots }}}}}}}}.$

12. Si l’on applique ces réductions à la formule du n^o 9, on aura ces deux-ci

$(1+x)^{m}=1+mx$

$+{\frac {m(m-1){\cfrac {x^{2}}{2}}}{1-{\cfrac {(m-2)x}{1.3}}+{\cfrac {{\cfrac {(m+1)(m-2)}{9}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1-{\cfrac {(m-2.4)x}{3.5}}+{\cfrac {{\cfrac {(m+2)(m-3)}{2.5}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1-{\cfrac {(m-2.9)x}{5.7}}+\ldots }}}}}},$

$(1+x)^{m}=1+{\frac {mx}{1+(1-m){\cfrac {x}{2}}+{\cfrac {{\cfrac {m^{2}-1}{3}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+{\cfrac {x}{2}}+{\cfrac {{\cfrac {m^{2}-4}{3.5}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+{\cfrac {x}{2}}+{\cfrac {{\cfrac {m^{2}-9}{5.7}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+{\cfrac {x}{2}}+\ldots }}}}}}}}.$