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$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {\cfrac {x}{2}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{3}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {1}{3}}{\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{5}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {1}{5}}{\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{7}}{\cfrac {x}{2}}}{1-\ldots }}}}}}}}}}}}}}.$

11. On peut encore simplifier ces fractions continues, et, en général, toute fraction continue de la forme

${\frac {\xi }{1+{\cfrac {\xi '}{1+{\cfrac {\xi ''}{1+{\cfrac {\xi '''}{1+\ldots }}}}}}}}.$

Pour cela je considère la fraction

${\frac {p}{1+{\cfrac {q}{1+r}}}}$

se réduit à celle-ci

${\frac {p(1+r)}{1+q+r}}={\frac {p(1+q+r)-pq}{1+q+r}}=p-{\frac {pq}{1+q+r}}\,;$

ainsi l’on aura d’abord

${\frac {\xi }{1+{\cfrac {\xi '}{1+{\cfrac {\xi ''}{1+\ldots }}}}}}=\xi -{\frac {\xi \xi '}{1+\xi '+{\cfrac {\xi ''}{1+\ldots }}}},$