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pression de l’arc par sa tangente, cette fraction continue

$\operatorname {arc\,tang} x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {\cfrac {x^{2}}{3}}{1+{\cfrac {\cfrac {4x^{2}}{3.5}}{1+{\cfrac {\cfrac {9x^{2}}{5.7}}{1+{\cfrac {\cfrac {16x^{2}}{7.9}}{1+{\cfrac {\cfrac {25x^{2}}{9.11}}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}.$

Cette dernière expression a aussi déjà été trouvée par M. Lambert dans l’Ouvrage cité, d’après la série $x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\ldots ,$ mais sous une forme moins simple que la précédente.

16. On voit, par le n^o 14, que les valeurs ne vont pas en diminuant ; de sorte que quelque loin que l’on pousse la fraction continue, on ne sera jamais en droit de négliger les termes suivants. Mais, si les valeurs dont il s’agit ne vont pas en diminuant, elles convergent cependant vers une même quantité, et cette circonstance donne le moyen de trouver à très-peu près la valeur du reste de la fraction continue.

Pour cet effet on n’a qu’à considérer les différentes transformées en $y',y'',y''',\ldots ,$ et l’on verra que la transformée $\mu$^ième sera représentée ainsi

$-{\frac {\left({\cfrac {\mu }{2}}n\right)^{2}x^{n}}{\left[(\mu -1)n+1\right]^{2}}}+\left[1-{\frac {(n-1)x^{n}}{(\mu -1)n+1}}\right]y^{(\mu )}+\left[y^{(\mu )}\right]^{2}$

$+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{(\mu -1)n+1}}{\frac {dy^{(\mu )}}{dx}}=0$

si $\mu$ est pair, et de cette manière

$-{\frac {\left({\cfrac {\mu -1}{2}}n+1\right)^{2}x^{n}}{\left[(\mu -1)n+1\right]^{2}}}+\left[1-{\frac {x^{n}}{(\mu -1)n+1}}\right]y^{(\mu )}+\left[y^{(\mu )}\right]^{2}$

$+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{(\mu -1)n+1}}{\frac {dy^{(\mu )}}{dx}}=0$

si $\mu$ est impair.