Or, si
est un nombre fort grand, alors il est visible que le premier terme se réduit toujours à
et que les autres termes se réduisent à ceux-ci
de sorte qu’on a, dans ce cas, la transformée
![{\displaystyle -{\frac {x^{n}}{4}}+y^{(\mu )}+\left[y^{(\mu )}\right]^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f90d5a25ce370fc625ac182be3e495774e91a35)
d’où l’on tire, en général,
![{\displaystyle y^{(\mu )}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+x^{n}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72185dca194d8268a20db9297c75815b2e5661b9)
mais les valeurs de
devant être nulles lorsque
on aura
![{\displaystyle y^{(\mu )}={\frac {-1+{\sqrt {1+x^{n}}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94773a95fd582f53176f4271d12a52cc67736703)
Donc, lorsqu’on aura poussé assez loin la fraction continue du no 14, il faudra, si l’on veut s’arrêter, ajouter après l’unité dans le dénominateur de la dernière fraction la quantité que nous venons de trouver, ou bien on donnera à la dernière fraction pour dénominateur la quantité
On pourra en user de même dans tous les cas semblables.
17. Soit encore proposée cette équation différentielle
![{\displaystyle 1+2mxy-y^{2}+nx^{2}{\frac {dy}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb62fee3df69de81acb34d48f28e78e1db19147)
dans laquelle on demande la valeur de
en
par une fraction continue d’autant plus convergente que
sera plus petite.
1o On trouvera
et la transformée en
sera
![{\displaystyle -2mx-(2+2mx)y'-y'^{2}+nx^{2}{\frac {dy'}{dx}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47978f347508db740e07098a88ad4a64886c0233)
2o On aura
et de là
![{\displaystyle (m-n)x-\left[2+(n-2m)x\right]y''-2y''^{2}+nx^{2}{\frac {dy''}{dx}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b473e088a7e2b590cd2069be31e6a224e90f109)