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18. Si dans l’équation différentielle du numéro précédent on fait

$x=at^{\alpha },\quad y=bt^{\beta }u,$

$t$ et $u$ étant de nouvelles variables, elle devient, après les substitutions et les réductions,

${\frac {du}{dt}}+{\frac {2m\alpha +n\beta }{n}}{\frac {u}{t}}-{\frac {\alpha b}{na}}t^{\beta -\alpha -1}u^{2}+{\frac {\alpha }{nab}}t^{-\alpha -\beta -1}=0,$

laquelle, étant comparée à la forme générale de l’équation de Riccati

${\frac {du}{dt}}-\mathrm {A} t^{p}u^{2}+\mathrm {B} t^{q}=0,$

donne

$\alpha =-{\frac {p+q+2}{2}},\quad \beta =-{\frac {p-q}{2}},\quad {\frac {m}{n}}={\frac {p-q}{2(p+q+2)}},$

$a={\frac {\alpha }{n{\sqrt {\mathrm {AB} }}}},\quad b={\sqrt {\mathrm {\frac {A}{B}} }}\,;$

de sorte qu’il reste encore une indéterminée $n,$ qu’on peut faire égale à tout ce que l’on veut.

L’équation dont il s’agit sera donc intégrable toutes les fois que les exposants $p$ et $q$ seront tels, que la valeur de ${\frac {m}{n}},$ savoir la quantité ${\frac {p-q}{2(p+q+2)}},$ sera égale à un nombre entier quelconque positif ou négatif ; ainsi les conditions de l’intégrabilité de l’équation

${\frac {du}{dt}}-\mathrm {A} t^{p}u^{2}+\mathrm {B} t^{q}=0$

seront renfermées dans cette égalité

$q={\frac {(1-2\lambda )p-4\lambda }{1+2\lambda }},$

$\lambda$ étant un nombre entier quelconque positif ou négatif ; ce qui s’accorde avec ce que l’on sait déjà.

19. Comme la forme des fractions continues est peu commode pour les opérations algébriques, nous allons réduire ces fractions en fractions