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Pour la compléter on suivra la méthode enseignée dans le n^o 7.

En effet, en considérant les différentes transformées en $y',y'',y''',\ldots ,$ on voit aisément que la transformée $\mu$^ième sera, en supposant $m={\frac {\mu }{2}}n$ lorsque $\mu$ est pair, et $m=-{\frac {\mu -1}{2}}n$ lorsque $\mu$ est impair,

$-\left[2-(\mu -1)x\right]y^{(\mu )}-2\left[y^{(\mu )}\right]^{2}+nx^{2}{\frac {dy^{(\mu )}}{dx}}=0,$

laquelle en faisant $y^{(\mu )}={\frac {1}{z}}$ devient

$\left[2-(\mu -1)x\right]z+2+nx^{2}{\frac {dz}{dx}}=0\,;$

d’où l’on tire, par l’intégration,

$z=\left(k-{\frac {2}{n}}\int e^{-{\frac {2}{nx}}}x^{-{\frac {\mu +2n-1}{n}}}dx\right)e^{\frac {2}{nx}}x^{-{\frac {\mu -1}{n}}},$

$k$ étant une constante arbitraire.

Donc, lorsque dans la fraction continue qui exprime la valeur de $y$ il arrivera qu’un des numérateurs deviendra nul, ce qui fera disparaître le reste de la fraction, il faudra, pour avoir la valeur complète de $y,$ écrire après l’unité dans le dénominateur de la dernière fraction partielle la quantité ${\frac {1}{z}},$ en prenant pour $\mu$ le rang de cette fraction.

Par exemple, lorsque $m=n,$ on a $y={\frac {1}{1-{\cfrac {nx}{1+0}}}}\,;$ comme la série se termine à la seconde fraction, je fais $\mu =2,$ ce qui me donne

$z=\left(k-{\frac {2}{n}}\int e^{-{\frac {2}{nx}}}x^{-{\frac {1+2n}{n}}}dx\right)e^{\frac {2}{nx}}x^{\frac {1}{n}},$

et j’ai, pour la valeur complète de $y,$ l’expression

$y={\cfrac {1}{1-{\cfrac {nx}{1+{\cfrac {1}{z}}}}}}.$

Et ainsi des autres cas semblables.