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on aura dans le même triangle

$\mathrm {AO:NO=\sin ONA:\sin OAN}$

savoir

$a:r=\sin \left(90^{\circ }-{\frac {y-x}{2}}\right):\sin \left(90^{\circ }-{\frac {y+x}{2}}\right),$

ou bien

$a:r=\cos {\frac {y-x}{2}}:\cos {\frac {y+x}{2}},$

d’où l’on tire l’équation

$a\cos {\frac {y+x}{2}}=r\cos {\frac {y-x}{2}},$

laquelle, par les Théorèmes connus, se réduit à celle-ci

$a\left(\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {x}{2}}\right)=r\left(\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {x}{2}}\right),$

ou bien

$(a-r)\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {x}{2}}=(a+r)\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {x}{2}}\,;$

et, divisant par $(a+r)\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {x}{2}},$

(1)

$\operatorname {tang} {\frac {x}{2}}\operatorname {tang} {\frac {y}{2}}={\frac {a-r}{a+r}}.$

On trouvera une autre équation semblable en considérant d’abord le triangle isocèle $\mathrm {POM} ,$ et ensuite tout le triangle $\mathrm {POB} \,;$ et, sans flaire un nouveau calcul, il suffira de substituer la ligne $\mathrm {OB}$ au lieu de la ligne $\mathrm {OA} ,$ et le rayon $\mathrm {OP}$ au lieu du rayon $\mathrm {ON} \,;$ donc au lieu de $a$ on aura $b,$ au lieu de l’angle $\mathrm {MOA}$ $(x)$ on aura l’angle $\mathrm {MOB}$ $(x-m),$ et au lieu de l’angle $\mathrm {NOA}$ $(y)$ on aura l’angle $\mathrm {POB}$ $(z-m).$

Donc la nouvelle équation sera

(2)

$\operatorname {tang} {\frac {x-m}{2}}\operatorname {tang} {\frac {z-m}{2}}={\frac {b-r}{b+r}}.$