qui ait démontré d’une manière directe et analytique que les équations du troisième degré sans second terme ne sauraient avoir leurs racines réelles, à moins que le cube du tiers du coefficient du troisième terme, pris avec un signe contraire, ne soit plus grand que le carré de la moitié du dernier terme ; ce qui donne précisément le cas irréductible. Il est vrai que Viète et même Bombelli avaient déjà prouvé avant lui que dans ce cas les racines sont réelles malgré leur déguisement sous une forme imaginaire ; mais ces Auteurs n’avaient employé pour cela que des constructions géométriques, au lieu que le savant Analyste anglais a fait voir à priori et par la théorie même des équations, que la condition dont nous venons de parler est indispensable pour la réalité de toutes les racines en sorte que quand elle n’a pas lieu il faut nécessairement que quelques-unes des racines soient imaginaires, quelle que puisse être d’ailleurs leur forme imaginaire. Voici à peu près comment Harriot s’y prend pour démontrer cette proposition (voyez la Section V de son Artis analyticæ praxis).
1. Soient les trois racines réelles d’une équation du troisième degré et l’inconnue ; cette équation, par les principes établis dans le même Ouvrage, sera représentée par le produit des trois quantités de sorte qu’elle sera de la forme
Pour faire évanouir le second terme, il faudra supposer a+b+c=0, d’où l’on voit qu’il est impossible que les trois racines soient positives ou négatives à la fois ; il y en aura donc nécessairement deux positives et une négative, ou deux négatives et une positive. Soient et les deux racines de même signe, et celle de signe contraire, on aura
étant des nombres positifs ; substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on aura la transformée
