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qui sera donc la formule générale des équations du troisième degré dont le second terme est évanoui, et dont toutes les racines sont réelles.

Donc, si l’on représente, en général, cette équation par

$x^{3}-\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

on aura

$\mathrm {B} =p^{2}+pq+q^{2},\quad \mathrm {C} =\pm \left(p^{2}q+q^{2}p\right),$

$p,q$ étant des quantités réelles positives.

Or Harriot démontre que, quelles que soient les valeurs de $p$ et $q,$ on a toujours nécessairement

$27\left(p^{2}p+q^{2}p\right)^{2}<4\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)^{3}\,;$

et sa démonstration est fondée sur ce Théorème d’Euclide, que si quatre grandeurs sont proportionnelles, la somme des extrêmes est toujours plus grande que celle des moyennes^[1] ; d’où il s’ensuit que l’on aura

$p^{3}q^{3}+p^{3}q^{3}<p^{4}q^{2}+p^{2}q^{4}<p^{5}q+pq^{5}<p^{6}+q^{6}\,;$

donc, ajoutant ensemble les formules suivantes

${\begin{aligned}&3p^{4}+3p^{2}q^{4}<3p^{6}+3q^{6},\\&12p^{3}q^{3}+12p^{3}q^{3}<12p^{5}q+12pq^{5},\\&p^{3}q^{3}+p^{3}q^{3}<p^{6}+q^{6},\\&24p^{4}q^{2}+28p^{3}q^{3}+24p^{2}q^{4}=24p^{4}q^{2}+28p^{3}q^{3}+24p^{2}q^{4},\end{aligned}}$

on aura

$27p^{4}q^{2}+54p^{3}q^{3}+27p^{2}q^{4}$

$<4p^{6}+12p^{5}q+12pq^{5}+4q^{6}+24p^{4}q^{2}+28p^{3}q^{3}+24p^{2}q^{4},$

c’est-à-dire

$27\left(p^{2}q+pq^{2}\right)^{2}<4\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)^{3}.$

Donc on aura

$27(\pm \mathrm {C} )^{2}<4\mathrm {B} ^{3},\quad {\text{c'est-à-dire,}}\quad \mathrm {\left({\frac {B}{3}}\right)^{2}>\left({\frac {C}{3}}\right)^{2}} .$

1. L’Auteur sous-entend que les grandeurs proportionnellesdont il s’agit sont disposées de manière à former une suite croissante ou décroissante.$\qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)