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où

$\mu ={\frac {m(m-1)}{2}},$

et

${\begin{aligned}\alpha =&(m-1)\mathrm {A} ,\\\beta =&{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} ^{2}+(m-2)\mathrm {B} ,\\\gamma =&{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3}}\mathrm {A} ^{3}+(m-2)^{2}\mathrm {AB} +(m-4)\mathrm {C} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura, pour la réalité des racines, ces conditions

${\begin{aligned}&\alpha ^{2}-2\beta >0,\\&\beta ^{2}-2\alpha \gamma +2\delta >0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}&\left(m^{2}-1\right)\mathrm {A} ^{2}-2(m-2)\mathrm {B} >0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on cherche une transformée de la même équation dont les racines soient les différences entre les racines de celle-là, et qu’on représente de même cette transformée par

$z^{\mu }-\alpha z^{\mu -1}+\beta z^{\mu -2}-\gamma z^{\mu -3}+\delta z^{\mu -1}-\ldots =0,$

on trouvera

${\begin{aligned}\alpha =&0,\\\beta =&-(m-1)\mathrm {A} ^{2}+2m\mathrm {B} ,\\\gamma =&0,\\\delta =&{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} ^{4}-2m(m-2)\mathrm {A^{2}B} -2(m-3)\mathrm {AC} +2m\mathrm {D} \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(2m+3)(m-2)\mathrm {B} ^{2},\\\varepsilon =&0,\\\ldots &\ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura, pour la réalité des racines, ces conditions

$-\beta >0,\quad \delta >0,\quad -\zeta >0,\ldots ,$