Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/357

savoir

$\beta <0,\quad \delta >0,\quad \zeta <0,\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}&(m-1)\mathrm {A} ^{2}-2m\mathrm {B} >0,\\&{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} ^{4}-2m(m-2)\mathrm {A^{2}B} -2(m-3)\mathrm {AC} +2m\mathrm {D} \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(2m+3)(m-2)\mathrm {B} ^{2}>0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On voit par là comment on peut s’y prendre pour trouver autant de conditions qu’on voudra entre les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’équation proposée, lesquelles seront absolument nécessaires pour la réalité des racines de cette équation ; on pourra encore multiplier ces conditions par la considération des équations des limites dont nous traiterons ailleurs mais on ne parviendra jamais, par ces moyens seuls, à des conclusions exactes et générales sur le nombre des racines imaginaires. Il est donc nécessaire d’employer dans cette recherche des principes plus directs et qui tiennent de plus près à la nature même et à la forme des racines imaginaires. Voici quelques réflexions sur ce sujet.

9. Il est démontré que toute équation, de quelque degré que ce soit, est toujours décomposable en facteurs réels du premier et du second degré [voyez le Mémoire sur la forme des racines imaginaires des Équations. Mémoires de 1772^[1]] et il est visible que les racines imaginaires ne peuvent venir que des facteurs du second degré, où le dernier terme est plus grand que le carré de la moitié du coefficient du second ; ainsi, pour reconnaître si l’équation

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0$

a des racines imaginaires ou non, il n’y aura qu’à examiner si elle est divisible par un ou plusieurs facteurs tels que $x^{2}-ax+b,$ où l’on ait $b>{\frac {a^{2}}{4}},$ c’est-à-dire où ${\frac {a^{2}}{4}}-b$ soit une quantité négative. On divisera donc la proposée par $x^{2}-ax+b,$ et ayant poussé la division jusqu’à ce que

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 479.