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l’on parvienne à un reste qui ne renferme plus que la première dimension de $x,$ on fera ce reste égal à zéro, en faisant évanouir séparément la partie affectée de $x$ et la partie sans $x\,;$ ce qui donnera deux équations en $a$ et $b,$ lesquelles serviront à déterminer ces deux indéterminées. On fera maintenant

${\frac {a^{2}}{4}}-b=u,$

c’est-à-dire que l’on substituera ${\frac {a^{2}}{4}}-u$ à la place de $b,$ et éliminant $a$ on arrivera à une équation finale en $u,$ dont les racines positives et négatives serviront à reconnaître les racines réelles et imaginaires de la proposée.

10. En effet il est clair, par ce qu’on a dit ci-dessus, que la proposée ne pourra avoir de racines imaginaires qu’autant que la transformée en $u$ aura des racines réelles négatives ; de sorte que, si l’équation proposée n’a aucune racine imaginaire, la transformée ne pourra avoir aucune racine négative, et vice versâ si celle-ci n’a aucune racine négative, celle-là n’en aura aucune imaginaires or comme par la règle connue de Descartes une équation ne peut avoir qu’autant de racines positives, et autant de négatives, qu’elle a de variations ou de successions de signes, il s’ensuit

1^o Que si les termes de la transformée en $u$ sont alternativement positifs et négatifs en sorte qu’elle n’ait aucune succession de signes, la proposée n’aura aucune racine imaginaire ;

2^o Que si la transformée a des successions de signes, la proposée aura nécessairement des racines imaginaires, mais dont le nombre ne pourra être plus grand que le double de celui des successions.

Voilà donc un caractère simple et général auquel on peut reconnaître si une équation a toutes ses racines réelles ou non ; mais lorsqu’on s’est assuré par là que l’équation proposée a nécessairement des racines imaginaires, il reste encore à déterminer le nombre de ces racines ; c’est à quoi on peut parvenir par les considérations suivantes.

11. Comme on suppose que

$x^{2}-ax+b=0$